Значение tкр найдем по таблице распределения критических точек Стьюдента .

Для  = 0.05 и k = 32 оно равно: t_кр = 2.04

Очевидно, что | Т_H |< t_кр

Используя стратегию Неймана – Пирсона, делаем вывод, что нет оснований отвергать нулевую гипотезу о том, что r = 0. Иными словами, при заданном уровне значимости отклонение коэффициента корреляции от нуля носит случайный характер.

Вопросы к седьмой лабораторной работе.

1.В чём смысл работы?

2. В чём суть метода наименьших квадратов?

3. Дать определение статистической и корреляционной зависимости.

4. Написать формулы для восьмой лабораторной работы.

Лабораторная работа №8 Фильтрация поля скользящим окном

.1. Случайные функции и их характеристики

Геологические модели исследуемого геологического пространства создаются на основе анализа комплексной геологической информации. Среди этой информации важное место занимают геологические, геохимические и геофизические поля, полученные в результате геологических, геохимических и геофизических съемок различного уровня, документации и каратажа скважин и др.

Случайной называют функцию, которая в результате испытания принимает тот или иной конкретный вид, заранее неизвестно какой именно.

Случайные функции - это упорядоченные по времени или пространству случайные величины. Примерами случайных функций в геологической практике, как уже отмечалось, являются: результаты опробования горных выработок, измерения геофизических или геохимических полей, измерения вариаций магнитного поля в течение дня, данные каратажа и документации скважин и др.

Случайная функция, аргументом которой является время, называется случайным процессом F(t).

Случайная функция, аргументом которой является координаты пространства, называется случайным полем F(x).

К аждый конкретный вид, который принимает случайная функция в результате испытания, называется ее реализацией.

Рис1.1

При проведении серии испытаний получают семейство реализаций случайной функции. Примером такого семейства являются контрольные измерения геофизического поля по одному и тому же профилю. Рис. 1.1.

Совокупность значений случайной функции для любого фиксированного значения аргумента x_j называется сечением случайной функции и является обычной случайной величиной F(x_j).

Для этой случайной величины можно вычислить математическое ожидание M[F(x_j)], дисперсию D[F(x_j)] и другие характеристики, построить функцию плотности распределения f_Fj и т.д. Если вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждого значения аргумента х случайной функции, получим математическое ожидание M[F] и дисперсию D[F] случайной функции.

Математическое ожидание случайной функции характеризует некоторую среднюю функцию, вокруг которой колеблются все ее реализации.

(1.1)

Дисперсия случайной функции характеризует разброс реализаций относительно математического ожидания случайной функции.

(1.2)

Здесь: F_k(x_i) - реализация случайной функции

K - количество реализаций.

Случайная функция называется стационарной, если ее математическое ожидание, дисперсия и автокорреляционная функция не изменяются с изменением аргумента.

Стационарные функции, характеристики которых полученные по одной реализации, являются представительными для всех реализаций и для всей функции в целом, называются эргодическими.

Р ис. 1.2

На рис. 1.2. приведены стационарные случайные функции, кроме того F₁ и F₃ являются также и эргодическими.

Для эргодических случайных функций оценки статистических характеристик могут вычисляться по более простым формулам по одной реализации.

(1.3)

(1.4)

где: n- число значений случайной функции в одной реализации.

Математическое ожидание определяет среднюю линию, а дисперсия - полосу, в которой осуществляются реализации случайной функции. Однако, поведение функции внутри полосы бывает совершенно различным.

Так, например, F₁ и F₂ имеют примерно одинаковые M[F] и D[F], однако, колебания функций различны.

Характеристикой изменчивости какой-либо реализации функции вдоль оси абсцисс может служить величина зависимости между соседними значениями функции. Эта зависимость оценивается автокорреляционной функцией (АКФ).

Для функций с дискретным аргументом (т.е. когда измерения проведены по регулярной сети). Автоковариационная функция вычисляется по формуле:

(1.5)

автокорреляционная функция:

AKФ_F(θ) = r_F( (1.6)

здесь: - величина сдвига реализации случайной функции, равная 1,2,..m пикетам.

Рассмотрим пример вычисления автокорреляционной функции.

П усть дана реализация случайной функции. Рис.1.3(a).

Рис. 1.3(а)

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(xi)	4	-4	6,5	10	3,7	-8,5	2,1	2,5	-2,0	-4,8

Математическое ожидание M[F] =0.

Требуется построить автокорреляционную функцию.

1. Пусть =0

xi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(xi)	4	-4	6,5	10	3,7	-8,5	2,1	2,5	-2,0	-4,8
F(xi)	4	-4	6,5	10	3,7	-8,5	2,1	2,5	-2,0	-4,8

K_F(0) = 30,2; r_F(0) =1

Значение автоковариационной функции для =0 соответствует

дисперсии D[F]=30,2.

Рис. 3.1.3(б)

2. Пусть =1 K_F1(1)=

xi		1	2	3	4	5	6	7	8	9
f(xi)		4	-4	6,5	10	3,7	8,5	2,1	2,5	-2,0
f(xi+1)	4	-4	6,5	10	3,7	8,5	2,1	2,5	-2,0	-4,8

K_F(1)=6,6 r_F(1)=0,219

3. Пусть =2 K_F2(2)=

x1	1	2	3	4	5	6	7	8
f(xi)	4	-4	6,5	10	3,7	8,5	2,1	2,5
f(xi+2)	6,5	10	3,7	-8,5	2,1	2,5	-2,0	-4,8

K_F(2)=-8,6 r_F(2)= -0,285

4. Сдвигая функцию в дальнейшем на =3,4,5,...m (Рис. 3.1.3(б)) получим последующие значения функций.

K_F(3)=-1,8 r_F(3)=-0,06

K_F(4)=10,0 r_F(4)=0,33

K_F(5)=-1,2 r_F(5)=0,04

На рисунке 1.3(в) приведен график автокорреляционной функции для нашего примера.

Рис. 1.3(в)

Автокорреляционная функция симметрична относительно вертикальной оси. При =0, r_F(0)=1.

Для различных автокорреляционная функция представляет собой коэффициенты корреляции двух случайных величин F(x_i) и F( ). По автокорреляционной функции можно построить корреляционную матрицу.

CorF( (1.7)

здесь:

Числовой характеристикой зависимости значений случайной функции вдоль профиля является радиус корреляции R, т.е. такое среднее расстояние, на котором сохраняется положительная корреляционная связь в структуре случайной функции. Для определения радиуса корреляции используют оценки значимости коэффициента корреляции при заданной ошибке 1 рода. В простейшем случае радиус корреляции (R) представляет собой расстояние от начала координат до пересечения r_F с осью абсцисс. Удвоенный радиус корреляции 2R характеризует средний полупериод колебаний случайной функции. Если R<1 - исследуемая функция называется некоррелируемой.

Для некоррелированной случайной функции корреляционная матрица становится единичной, а ковариационная - скалярной.

По АКФ оцениваются корреляционные свойства геологических полей, аномалий, а также помех. Поскольку геофизическое поле представляет собой в общем случае сумму сигнала a(x) и помехи v(x) F_(x)= a(x)+v(x) и при независимости аномалии и помехи АКФ можно представить в виде

(3.1.8)

Последние две суммы в силу предположения равны нулю.

При слабом влиянии помехи на аномалию, т.е. при малой интенсивности помехи по сравнению с амплитудой аномалии, АКФ - является оценкой корреляционных свойств аномалий. При площадном моделировании, например при геологическом картировании по радиусу корреляции геологического поля по опорному профилю можно определить среднюю ширину аномалий, отражающих геологических подразделений

L_ср.=2R

При отсутствии сигнала АКФ - представляет собой оценку корреляционных свойств помех. Погрешность оценки АКФ можно найти аналогично проверке значимости коэффициента корреляции по критерию Неймана-Пирсона.

Взаимно корреляционная функция (ВКФ) представляет собой оценку корреляционных свойств двух случайных полей F₁ и F₂.

В качестве исследуемых полей можно взять два различных геофизических или геохимических поля по одному профилю F₁ и F₂, и тогда ВКФ равна:

ВКФ = (3.1.10)

Надежность вычисления ВКФ определяется аналогично АКФ.