1 Класс.

	ni	Wi	Vi	Fi
8-10	1	0,02	0,01	0,02
10-12	2	0,04	0,02	0,06
12-14	14	0,28	0,14	0,34
14-16	18	0,36	0,18	0,70
16-18	10	0,20	0,10	0,90
18-20	3	0,06	0,03	0,96
20-22	2	0,04	0,02	1,00

2 Класс

	ni	Wi	Vi	Fi
8,2-9,4	2	0,04	0,033	0,04
9,4-10,6	9	0,18	0,150	0,22
10,6	16	0,32	0,267	0,54
11,8-13,0	14	0,28	0,233	0,82
13,0-14,2	8	0,16	0,133	0,98
14,2-15,4	1	0,02	0,017	1,00

V₂

V₂





β=0,13

α=0,24

V_i

V₂

V₁

F_э

x

x





x_k

Р

V_i

ис.4.2

По полученным данным требуется установить решающее правило (критерий разделения пород на два класса по изучаемому признаку) и оценить ошибки диагностики при массовом распознавании образцов пегматитов. Фактически, изучив свойство Х образца, взятого из исследуемого пегматитового тела, следует отнести его к классу рудных пегматитов или к классу безрудных.

Решающее правило будем строить исходя из стратегии Байеса. При равных априорных вероятностях гипотез P(H₁) = P(H₂) = 0,5 критическая точка х_k выбирается как абсцисса точки пересечения эмпирических кривых функции плотности распределения. Рис.1.3.5. Следовательно, если исследуемый образец характеризуется свойством х < x_k, его следует отнести к 1 классу, если х > x_k - ко второму.

При массовом распознавании мы будем совершать ошибки. Ошибка первого рода , а ошибка второго рода . Эти ошибки могут быть определены по графикам эмпирических функций распределения. В рассмотренном примере х_k = 13,3; .Общая ошибка диагностики

 = 0,50.13+0.5  0.24 = 0.185

Вопросы к четвёртой лабораторной работе.

1.В чём смысл работы?

2. В чём суть стратегии Байеса?

3. Дать определения ошибок первого и второго рода, написать формулы и показать на графике.

4. Написать формулы для критерия Котельникова и критерия максимального правдоподобия.

Лабораторная работа №5. Построение теоретических интегральной и дифференциальной функций распределения.

Если закон распределения изучаемой случайной величины известен или предполагается, то возникает задача построения графиков этого закона применительно к данным полученной статистической выборки. Практически требуется выравнить гистограммы. В частности, выравнивание гистограммы плотности относительных частот дает возможность оценить дифференциальную функцию распределения, а выравнивание гистограммы накопленных относительных частот - теоретический график интегральной функции распределения.

Пусть нам известно, что случайная величина х распределена по нормальному закону. Функция плотности вероятности нормального закона дается выражением:

(5.1)

где: a - математическое ожидание;

- среднеквадратичное отклонение.

Если центрировать случайную величину и нормировать ее на среднеквадратическое отклонение, получится случайная величина:

Эта величина распределена также по нормальному закону, но с математическим ожиданием равным нулю и среднеквадратическим отклонением равным единице.

M[u]=0;

Функция плотности вероятности нормированного нормального закона

(с параметрами M[u] = 0 и ) имеет вид:

(5.2)

и называется функцией Гаусса.

Сравнение формул позволяет выразить функцию плотности вероятности через функцию Гаусса:

Таким образом, для выравнивания гистограммы плотности относительных частот v_i, т.е. для оценки теоретической функции плотности распределения, необходимо перейти от переменной x к переменной u, заменяя a и их оценками и s, а затем воспользоваться формулой

(5.3)

где:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины х в i-ый интервал равна:

(5.4)

где: h - интервал группирования.

Для выравнивания гистограммы накопленных относительных частот вычисления проводятся путем суммирования значения P_i, т.е. накапливая значения вероятности .

Теоретическую интегральную кривую можно построить и другим способом. С этой целью для правой границы интервала группирования x_j

(где: j = ( )) определяют значение функции F(x_j) по формуле:

F(x_j)=[0.5 +Ф(u_j)] (5.5)

где: Ф(u_j) - интегральная функция Лапласа.

Проведем выравнивание гистограммы рассматриваемого сквозного примера.

При расчетах удобно пользоваться табличной записью:

Таблица 5.1

xi		ui	(ui)	f(xi)	Pi=hf(xi)	F(xj)	uj	xj
9	-6.04	-2.5	0.0175	0.007	0.004	0.02	-2.1	10
11	-4.04	-1.69	0.0957	0.040	0.080	0.10	-1.26	12
13	-2.04	-0.85	0.2780	0.116	0.232	0.33	-0.43	14
15	-0.04	-0.02	0.3989	0.166	0.332	0.65	0.4	16
17	1.96	0.82	0.2850	0.119	0.237	0.89	1.2	18
19	3.96	1.65	0.1023	0.043	0.085	0.98	2.07	20
21	5.96	2.49	0.0180	0.008	0.015	0.99	2.5	22

F(x)

F(x)

f(x)

x

Р

x

ис.5.1

На рисунке 4.1.1 приведены гистограммы и теоретические кривые f_т(x); F_т(x). Оценка математического ожидания рассматриваемой случайной величины (медиана М_е) может быть графически найдена по графику F(x), как абсцисса точки F(x_j) = 0,5.

Вопросы к пятой лабораторной работе

1.В чём смысл работы?

2. Из какого предположения выполняем четвёртую лабораторную работу?

3. Написать формулу нормального закона распределения, построить его график.

4. Как выглядит Закон Гаусса (формула, график).