5. Ассоциированный закон пластического течения

Все теории пластичности основаны на том, что в девиаторном пространстве существует область упругой работы, ограниченная некоторой поверхностью (рис.5.1). Если девиатор напряжений в девиаторном пространстве лежит внутри области упругой работы, то его малое приращение влечет за собой лишь изменение девиатора упругой деформации , пластическая составляющая при этом остается неизменной. Граница области упругой работы материала зависит от предела текучести материала при одноосном растяжении

называется поверхностью текучести. Поверхность текучести определяется обычно либо критерием Губера-Мизеса, либо – Треска-Сен-Венана.

Рис.5.1

Изотропия девиаторного пространства требует, чтобы поверхность текучести была сферой (критерий Губера-Мизеса), радиус которой равен

,

поскольку эта величина представляет максимальную интенсивность напряжений при одноосном растяжении в области упругой работы. В расчетах вместо требования изотропии девиаторного пространства, приводящего к поверхности текучести Мизеса, иногда используют критерий текучести Треска-Сен-Венана. В трехмерном подпространстве L₃ = {h₁, h₂, h₃} девиаторного пространства такая поверхность текучести представляет фигуру вращения правильного шестиугольника вокруг оси h₁. В подпространстве {h₄, h₅, h₆}, то есть при чистом сдвиге, поверхность Треска-Сен-Венана представляет сферу, радиус которой меньше, чем в критерии Мизеса .

Постулат устойчивости Друкера применительно к пластическому материалу ведет к весьма важным следствиям. Продолжая рассматривать в качестве объекта исследования элементарный объем среды, в качестве нагрузки рассмотрим тензор напряжений. Элементарная работа напряжений dA на соответствующих деформациях представляет произведение

.

Последнее слагаемое здесь представляет полный дифференциал ввиду линейной зависимости между средним напряжением ₀ и деформацией ₀. Для устойчивости достаточно, чтобы коэффициент этой связи 3K₀ (объемный модуль упругости) был положителен, что наблюдается всегда, так что с этой стороны устойчивости ничего не грозит. Ввиду линейной связи между девиатором напряжений и девиатором упругих деформаций слагаемое ( ) также представляет собой полный дифференциал, то есть при нагружении и последующем снятии нагрузки работа напряжений на упругих деформациях возвращается к нулю. Слагаемое ( ) в этом выражении определяет рассеяние энергии в тепло, которое в изотермическом процессе удаляется системой поддержания постоянной температуры.

Рассмотрим цикл нагружения и снятия нагрузки из некоторого нагруженного начального состояния A (рис.4.6а). Здесь показаны часть девиаторного пространства, захватывающая область упругого деформирования (в окрестности точки O), ограниченная поверхностью текучести, и закритическая часть девиаторного пространства. После нагружения OA (сплошная линия) было произведено дополнительное нагружение (пунктирная линия) до точки B, лежащей на поверхности текучести и затем дополнительная нагрузка снята (штриховая линия), осталась только начальная (точка A). В соответствии с постулатом устойчивости работа дополнительных напряжений на пунктирной линии AB положительна. Поскольку пока нет неупругих деформаций, приращение напряжений и соответствующее приращение деформаций определяются законом Гука, то есть в девиаторном пространстве эти два приращения отличаются в 2G раз и, естественно, коллинеарны. Для примера показано некоторое промежуточное состояние (точка D). Вектор AD представляет изменение девиатора деформаций с момента выхода из точки A и одновременно соответствующее изменение девиатора напряжений, деленое на 2G. Совершенная работа этих напряжений равна к текущему моменту квадрату длины вектора AD, деленному на 4G.

а)	б)
Рис.5.2

При снятии дополнительной нагрузки (штриховая линия ВA) работа дополнительного напряжения отрицательна и, поскольку не было выхода за область упругой работы, за цикл нагружение – разгрузка суммарная работа напряжений равной нулю. Однако в состоянии B (в отличие от состояний в области упругой работы) допускается некоторое изменение пластической деформации . Вспомним второе положение постулата устойчивости Друкера, которое касается неотрицательности работы дополнительных нагрузок. Из него следует, что угол между вектором AB (соответствующим приращению девиатора напряжения) и вектором должен быть меньше π/2, чтобы его косинус, необходимый для вычисления работы, был неотрицателен. Если вдобавок вспомнить, что точка A может находиться в любом месте области упругой работы материала, включая поверхность текучести (рис.5.2б), то множество возможных направлений вектора вырождается до единственного – по наружной нормали к поверхности текучести. В этом и состоит ассоциированный закон пластического течения, согласно которому вектор пластической деформации в девиаторном пространстве направлен по нормали к поверхности текучести. Отсюда следует, что при использовании шаровой поверхности текучести Губера-Мизеса векторы приращений упругой и пластической деформации взаимоортогональны, а векторы и (а также и ) сонаправлены друг с другом:

, .

Рис.5.3

В заключении добавим, что постулат Друкера не запрещает негладкую поверхность текучести. Из него следует ее обязательная невогнутость (при этом не имеет значения, является ли поверхность текучести гладкой или нет), а также множественность возможных направлений вектора в сингулярных (угловых) точках. На рис. 5.3 показано, что в точке A, где поверхность текучести вогнута, вектор приращения пластической деформации A не существует. Точка B является сингулярной на выпуклом участке поверхности текучести, здесь приращение пластической деформации существует и может быть реализовано множеством вариантов, которое показано здесь черной сплошной линией.