VIII. Указания по решению задач.

Задача 1.

Краткая теория.

Изопроцессы в газах. Газовые законы.

Изотермический процесс Т-const. Рассматривается зависимость Р(V).

Закон Бойля-Мариотта =

Графически закон представлен изотермой в основной системе координат.

Изобарный процесс Р-const. Рассматривается зависимость V(Т)

Закон Гей-Люссака =

Графически закон представлен изобарой основной системе координат.

Изохорный процесс V-const. Рассматривается зависимость Р(Т)

Закон Шарля =

Графически закон представлен изохорой основной системе координат.

Пример 1.

Задан термодинамический цикл (рисунок 1), состоящий из нескольких изопроцессов. Криволинейные участки циклов - изотермы. Охарактеризуйте каждый участок в отдельности и перечертите в недостающих системах координат.

1. 1.а 1.б

Решение:

На рисунке 1

участок АВ – изохора (V-const) т.к. V_А = V_В

Из графика Р_В Р_А, по закону Шарля давление газа пропорционально температуре, следовательно, Т_В Т_А. На участке АВ произошло изохорное нагревание.

участок ВС – изобара (Р-const) т.к. Р_В = Р_С

Из графика V_С V_В, по закону Гей-Люссака объем газа пропорционален температуре, следовательно, Т_С Т_В. На участке АВ произошло изобарное расширение.

участок СD – изотерма в основной системе координат (Т-const) т.е.

Т_C = Т_D

Из графика V_D V_C, P_D P_С (по закону Бойля – Мариотта давление обратно пропорционально объему). На участке СD произошло изотермическое расширение.

участок DА – изобара (Р-const) т.к. Р_D = Р_А

Из графика V_D V_А, по закону Гей-Люссака объем газа пропорционален температуре, следовательно, Т_D Т_А. На участке DА произошло изобарное сжатие.

На рисунке 1.а данный термодинамический цикл представлен в координатах Р-Т, на рисунке 1.б в координатах V-Т.

Задача 2.

Краткая теория.

c_Р – удельная теплоемкость газа при р-const,

c_V – удельная теплоемкость газа при V-const,

c_Р = , c_V =

Внутренняя энергия идеального газа

U = R T = c_V T,

где – молярная масса газа, - число степеней свободы молекулы,

R = 8,31 Дж/(моль К) – универсальная газовая постоянная,

c_V – удельная теплоемкость газа при V-const.

Первый закон термодинамики

Q = ∆U + L,

где Q – теплота, сообщенная системе (газу);

∆U – изменение внутренней энергии системы;

U = R T = c_V T,

L – работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа в общем виде:

L =

 L = р  (V₂ – V₁) - при изобарном процессе;

L = R T ln - при изотермическом процессе;

L = = = - при адиабатном процессе,

– показатель адиабаты

= .

Пример 2.

Определить количество теплоты, сообщенное газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объемом 20 л его давление изменилось на 100 кПа.

Дано:

V = 20 л = 20 10^-3 м

р = 100 кПа = 100 10³ Па

Определить:

Q - ?

Решение:

По первому закону термодинамики

Q = ∆U + L, при изохорном процессе V-const, следовательно L = 0, тогда

Q = ∆U,  

изменение внутренней энергии системы;

U = R T.

По уравнению Менделеева – Клапейрона

р₁V = R T₁ (1), р₂V = R T₂ (2),

вычитаем (2) - (1), получим

р₂V - р₁V = R T₂ - R T₁,

V(р₂ - р₁) = R(T₂ - T₁) или

V р = R T, окончательно

Q = ∆U = R T = V р (для двухатомного кислорода i = 5)

R = 8,31 Дж/(моль К) – универсальная газовая постоянная.

Производим подстановку в формулу числовых значений

Q = 20 10^-3 м 100 10³ Па = 5 10³ Дж = 5 кДж

Ответ: Q = 5 кДж.

Задача 3.

Краткая теория.

Коэффициент полезного действия тепловой машины

= = 1 - ,

где Q₁ – тепло, переданное рабочему телу, и Q₂ – тепло, отданное холодильнику.

Для идеального цикла Карно

= = 1 - ,

где Т₁ – температура нагревателя, Т₂ – температура холодильника.

Работа, совершаемая машиной за один цикл

А = Q₁ – Q₂

Пример 3.

Температура нагревателя тепловой машины 150 ⁰С, а холодильника 25 ⁰С. Машина получает от нагревателя 4 10⁴ Дж энергии. Как велика работа, произведенная машиной?

Дано:

Q₁ = 4 10⁴ Дж

Т₁ = 150 ⁰С = 423 К

Т₂ = 25 ⁰С = 298 К

Определить:

А - ?

Решение:

КПД тепловой машины, работающей по идеальному циклу Карно определяется

= 1 – Т₂/Т₁, тогда = 1 – 298 К/ 423 К = 0,29 = 29 %.

КПД можно определить также = (Q₁ – Q₂)/ Q₁, где (Q₁ – Q₂) = А, следовательно

А = Q₁ = 0,29 4 10⁴ = 11, 6 кДж

Ответ: А = 11, 6 кДж