6. Дисперсионный анализ. Постановка вопроса. Метод решения (параметрический и непараметрический случаи). – Задание 4.

Дисперсией числового ряда называют среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического.

В статистических методах анализа данных, которые называются дисперсионным анализом, сравниваются две группы наблюдений: Контрольная (х) и Рабочая (у, получена после обработки). С помощью сравнения мы хотим выяснить, есть ли эффект обработки, который приводит к положительному (отрицательному) сдвигу х<<у (х>>у) , называемому альтернативной гипотезой Н₁. Гипотеза об отсутствии эффекта обработки х≡у называется основной гипотезой Н_0. Под обработкой испытуемых можно понимать, например, воздействие на них с помощью различных способов обучения, лечения, рекламы и тд.

Параметрический дисперсионный анализ для 2х независимых выборок. Критерий Стьюдента.

Матем модель: Рассм нормальн выборку x= (x₁, x₂, …, x_n) объема n с теоретическим распределением N (a, σ) и независимую от x нормальную выборку y= (y₁, y₂, …, y_m) объема m с теоретическим распределением N (b, σ):

Где - совокупность из n + m ненаблюдаемых независимых стандартных нормальных случайных величин. Неизвестные среднеквадратичные отклонения обеих выборок предполагаются одинаковыми и равными σ , а теоретические распределения выборок могут отличаться, т.е. не быть однородными, лишь за счет различия неизвестных математических ожиданий a и b. Параметр Θ = b-a называется теоретическим сдвигом выборки у относительно выборки х.

Постановка задачи: 1) Проверить гипотезу однородности Н₀ ( a=b или Θ=0 – нет эффекта от обработки) против альтернативы положительного (отрицательного) сдвига Н₁ ( гипотеза о наличии эффекта, a<b Θ>0 (a>b Θ<0) 2)Если принято решение в пользу Н₁ , то строится доверительный интервал для сдвига Θ = b-a, т.е. для коэффициента доверия 1-a требуется указать числа , для которых

Точечные характеристики параметров Θ и σ:

При описании схемы решения задач 1) и 2) используются след величины (статистики), вычисляемые на основе n наблюдений выборки х и m наблюдений у.

Θ – точечная оценка теоретического сдвига Θ = b-a и называется выборочным сдвигом. σ – точечная оценка теоретического среднеквадратичного отклонения σ.

Степень свободы: N = n + m – 2

Решение задачи 1): Пусть конкурентом гипотезы однородности Н₀ : Θ = 0 выступает альтернатива Н₁ : Θ > 0 ( H₁ : Θ < 0) положительного ( отрицательного ) сдвига. Введем статистику (функцию наблюдений). Статистика Стьюдента:

Применим Критерий Стьюдента:

t_α⁺, t_α^- - верхняя и нижняя односторонние квантили распределения Стьюдента.

Свойство: Если верна гипотеза гипотезы однородности Н₀ , то для решающего правила критерия Стьюдента вероятность напрасного отклонения Н₀ (принятия Н₁) не превышает α. Другими словами, мы будем говорить, что альтернатива Н₁ принимается (гипотеза Н₀ отвергается) на уровне значимости ≤ α

Решение задачи 2): Доверительный интервал - , где (границы дов интервала) є_α – у нас на семинаре мы писали ρ_α

Далее мы строили таблицу и писали вывод:

Непараметрический дисперсионный анализ для 2х независимых выборок. Критерий Манна-Уитни.

Матем модель: x=( x₁, x₂, …, x_n) – наблюдения «до» y=(y₁, y₂, …, y_n) – наблюдения «после» U_xy , U_yx – Статистики Манна-Уитни

Распределение Манна-Уитни: Количество пар, для которых xi < yi U_xy (x_i < y_i) , U_xy = Σ_iΣ_j ϕ(x_i ; y_i) U_yx (x_i < y_i) , U_yx = Σ_iΣ_j ϕ(y_i ; x_i) ϕ_ij = 1, x<y |=0, x>y | =1/2, x=y Можно сказать, что распределение вероятностей случайной величины U_xy совпадает с распределением вероятностей U_yx и их общее распределение вероятностей (распределение Манна-Уитни) зависит лишь от объемов выборок n и m. n=m U_α⁺ + U_α^- = nm , где U_α^- - нижний односторонний квантиль распред Манна-Уитни, U_α⁺ - верхний односторонний квантиль.

Приближенное решение задачи: 1) Критерий М-У: U_xy ≥ U_α⁺ -> Н₁ U_xy < U_α⁺ -> Н₀ U_yx > U_α^- -> Н₀ U_yx ≤ U_α^- -> Н₁

Далее идет инфа с сайта Дьячкова, на семинаре нам не дорассказали видимо.

2)Пусть при коэфф доверия 1-α нижний двусторонний квантиль U_α^- ≥ 1 или верхний двусторонний квантиль U_α⁺ ≤ nm – 1. Тогда можно показать, что для любой функции распределения вероятностей справедливо неравенство: При коэффициенте доверия 1-α построение границ доверительного интервала для сдвига в непараметрической модели дисперсионного анализа будет: