Плотность распределения вероятностей - f(X)

Для непрерывных случайных величин наряду с законом распределения вероятностей рассматривают плотность вероятностей, которую обозначают так .

Плотностью вероятностей случайной величины называют первую производную от интегральной функции распределения вероятностей

откуда дифференциал

Поскольку прирост определяют зависимости

куплена плотности вероятностей на прирост случайной величины соответствует вероятность того, что случайная величина содержаться в промежутке где .

Геометрически на графике плотности вероятностей соответствует площадь прямоугольника с основанием и высотой

Свойства плотности вероятностей

1. Плотность вероятностей принимает положительные значения . Это свойство следует из определения первой производной от функции распределения , которая в свою очередь является неубывающей функцией.

2. Условие нормирования случайной величины

3.Вероятность попадания случайной величины в промежуток определяется зависимостью

4. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины определяется через плотность распределения вероятностей интегрированием

Числовые характеристики (м.О., дисперсия, среднее квадратичное отклонение) для непрерывной случайной величины.

Случайная величина – величина, принимающая в результате испытаний значение, неизвестное заранее. Непрерывная случайная величина – случайная величина, принимающая значения, которые располагаются на прямой, луче или отрезке.

Математическое ожидание – среднее ожидаемое значение, принимаемое случайной величиной в больших сериях испытаний. В отличие от среднего арифметического, учитывается то, сколько раз случайная величина Х принимала конкретное значение х. Если случайная величина Х имеет плотность распределения p(x), а х – значение случайной величины Х, то:

Дисперсия – среднее отклонение от среднего значения (то есть от математического ожидания). Если случайная величина Х имеет плотность распределения p(x), а х – значение случайной величины Х, то:

Среднеквадратическое отклонение (или стандартное отклонение) необходимо для того, чтобы иметь ту же размерность, что и случайная величина, так как для нахождения дисперсии она возводится в квадрат. По определению, это – квадратный корень из дисперсии:

Нормальное распределение. Задание 2

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения и масштаба (или, что тоже самое, дисперсией ) имеет следующий вид: