Вероятность

1. Случайные события. Вероятность случайных событий. Алгебра событий.

Случайные события.

Всевозможные N исходов опытна называются элементарными событиями, а их совокупность называется пространством элементарных событий.

W - элементарные события

Ω - пространством элементарных событий

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти. (интернет)

А – случайное событие

- не произошедшее событие А (противоположное)

Алгебра событий

1.Суммой двух событий A и B называется событие C, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B.

С = А + В

2. Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B.

С = АВ

3. Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначается A\B.

ИЛИ

Разностью событий А и В называется событие А\В , происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.

4.А В

Знак подмножества. А B означает - все элементы A являются элементами B.

5. А В; А В → А=В

6. Два соб-я наз-ся несовместимыми, если 1 соб-е исключает появление другого.

Несовместимые собития А и В, если АВ= Ø.

Вероятность случайных событий

Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благо-приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

P(A)=m/n

n – все события

m – благоприятные событию А

2. Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности 

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Если зависимое событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий. Пусть известны их вероятности   и соответствующие условные вероятности  . Тогда вероятность наступления события   равна:

Доказательство элементарно: согласно  алгебре событий, (произошло событие   и после него наступило событие  или произошло событие   и после него наступило событие  или произошло событие   и после него наступило событие  или …. или произошло событие   и после него наступило событие  ).

Поскольку гипотезы   несовместны, а событие   – зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг):

Итак, событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий  , которые будем называть гипотезами.

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез  .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез   называются апостериорными вероятностями, тогда как   - априорными вероятностями.

3. Схема испытаний Бернулли. – Задание 1.

Так надо сказать Александровой: Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. (вероятность неудачи равна 1-p соответственно) Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Пример для понимания: мы бросаем мяч в корзину (вероятность попадания p= 0,5, высчитывается из отношения благоприятных событий ко всем событиям т.е. попал-не попал) 8 раз. Нам нужно узнать с какой вероятностью мы попадем в корзину ровно 3 разf. Для этого используем схему Бернулли. Формула приведена внизу, сейчас последовательно реализуем ее:

1. р=1/2 =0,5 (попал/попал + не попал) – вероятность благоприятного исхода

q= 1 – 0,5=0,5 – вероятность неблагоприятного исхода

Здесь маленькими буковками будет представлена информация, которая вряд ли пригодится: Для того чтобы с использованием испытаний Бернулли вычислить, что мы попадем в корзинку 3 раза или меньше нужно вычислить по вышеописанной формуле вероятности для случаев: ровно 0 попаданий (т.е. при k=0), ровно 1 попадание (при k=1), ровно 2 попадания (при k=2), ровно 3 попадания (при k=3); и сложить все это .