161. Критерий устойчивости Вышнеградского.

Применяется для систем АР, описываемых линейным дифференциальным уравнением 3-его порядка.

КВ и построение диаграммы (графического изображения усл. устойчивости по КВ) основываются на следующих соображениях.

Диф. Уравнению системы 3-его порядка соответствует характеристическое уравнение следующего вида:

Рассмотрим предельный случай, когда уравнение 3-его порядка вида 4.7 будет иметь один действительный отрицательный корень и два комплексных корня с вещественной частью, равной нулю ( что соответствует моменту перехода системы из устойчивого состояния в неустойчивое и наоборот).

Допустим, что ур-е имеет корни:

Найдем соотношения между Коэф.ами уравнения, при которых это будет иметь место. При указанных значениях корней левая часть ур-я (4.7) должна разлагаться на множители: Приравнивая Коэф.ы слагаемых, содержащих pв одинаковых степенях в правой и левой частях ур-я 4.11, найдем, что Исключив из этих равенств , найдем, что в разбираемом нами предельном случае должно удовлетворяться равенство .

Для выяснения характера этой разности для предельного случая достаточно рассмотреть любой пример. Пусть . Тогда ур-е 4.7 распадается на два

В ур-ии 2го порядка все корни имеют отрицательную вещественную часть, если . В этом частном случае (при ) будет иметь место следующее неравенство:

Полученное неравенство, определяющее устойчивость системы после подстановки в него параметров X и Y будет иметь вид: . Если X и Y рассматривать как Декартову систему координат, то можно построить кривую, представляющую собой равностороннюю гиперболу АБ, определяемую ур-ем XY=1 (см. диагр. B). Т.к. это ур-е служит предельным для неравенства 4.12, то кривая АБ выделяет на плоскости XY (при X>0, Y>0) область устойчивых и область неустойчивых свободных движ. САП, обозначенных на диаграмме B соответственно как области II (с подобластями III и IV) и I.

САР будет иметь незатухающие гармонические колебания при XY=1, будет неустойчива при XY<1 и будет устойчива при XY>1.

Рассмотрим предельный случай, когда комплексные корни характеристического уравнения III степени превращаются в вещественные отрицательные. Обозначая вещественную часть комплексного корня через и считая мнимую часть =0, устанавливаем, что в рассматриваемом предельном случае уравнение 4.7 должно делиться на без остатка и, следовательно, оно разлагается на множители: (4.14)

где -вещественный отрицательный корень ур-я 4.7.

Приравнивая коэф-ты при слагаемых с одинаковыми степенями p в правой и левой частях ур-я 4.14, получим:

Исключая из этих трех уравнений и подставляя параметры X и Y, найдем для рассматриваемого предельного случая:

(4.15)

Полученное уравнение есть уравнения гранич. кривых, делящих область II на две части (подобласти), в одной из которых все три корня характеристического ур-я – вещественные отрицательные, а в другой части такой корень один, а другие два – комплексные с отрицательной вещественной частью.