3.Ортогональ базис құру(ортогональдау процесі).
1. Вектордың ортогональдығы.
Анықтама.
Эвклид кеңістігінің
векторлары ортогональды болады деп
аталады. Егер олардың скаляр көбейтіндісі
=0 болса
Ортогональді базис
Анықтама.
0-дан өзгеше векторлар n
өлшемді
Эвклид кеңістігінің ортогональді
базисын құрайды. Егер олар қос-қостан
ортогональді болса.
Анықтама.
n өлшемді Эвклид кеңңістігің векторлары
нормалданған базис құрайды. Егер олар
қос-қостан ортогональді болса және әр
біреуінің ұзындығы 1-ге тең болса
Теорема.Кез келген Эвклид кеңістігінде ортогональды және нормалданған базис бар.
Дәлелдеуі: Теореманың шарты бойынша кеңістігінде қандай да бір базис бар ол мынандай вектордан тұрады.
векторлары
бар. Бұл векторлар базис құрайды. Осы
базис арқылы
нормалданған базис құрамыз.
(
(
(
Егер
болса,
ортогональдау проц. Бітті.
Егер
б/са, онда
табуға кірісеміз.
шарттан
анықталады.
Егер n=3 ортогональді проц. бітті.
Егер
n
б/са онда ары қарай жалғастырамыз.Мынадай
түрде:
,
…
Сонда ортогональ базис құрылады.
4. Группа элементінің реті, оның қасиеттері.
Анықтама. Егер a элементінің барлық бүтін санды дәрежелері әртүрлі болса, онда a элементін шексіз ретті деп санаймыз. Кейде оны O(a)= түрінде белгілейміз. Анықтама. Егер a элементінің барлық бүтін санды дәрежелері әртүрлі болмаса, онда a элементін шекті (ақырлы) ретті деп атаймыз.
a
элементі шекті ретті болса, онда
, k≠ l , k>l деп алуға болады, сонда
=1
болар еді. Олай болса a элементінің
белгілі бір натурал дәрежесі бірге тең
болады. Бұл жағдайда
=1, ал
,
элементтері әртүрлі болатын n натурал
санын a элементінің реті деп атаймыз.
Соныиен , O(a)= , не O(a)= n болады.
Теорема
4. Егер a элементінің реті n болса, онда
a элементінің кез келген бүтін дәрежесі
,
элементерінің біріне тең болады.
Дәлелдеуі.
=1 және
,
элементері әртүрлі. Сонда k=n*g+r, 0≤ r ≤n
жазуға болады. Олай болса
=
(
)q*ar=ar
, 0≤ r ≤n . Дәлелденді.
Теорема.
егер a элементінің реті n натурал саны
болса, онда G={a}= G{
},
0≤ k ≤n болуына кажетті және жеткілікті
шарт k және n сандарының өзара жай сандар
болуы.
Дәлелдеуі. (k,n)=1 болып, онда
ku+nv=1 болатын u және v бүтін сандарын
табуға болады.
Сонда
(
n)
=(
)u
=
-nv=a*a-nv=a
Сонымен
(a)=(ak).
Егер (a)=(
)
болса, онда a = (
)s
болуы керек.
Олай болса
s-1=1,сондықтан
ks≡1 (mod n) . Бұдан ks≡1 (mod n), олай болса
(k,n)=1. Теорема дәлелденді.
Бұл теоремадан байқайтынымыз, егер a элементінің реті n болса, онда n санының кез келген бөлгішіне сәйкес (a) циклдік группасының ішкі группасы болады.
5.
Шешуі: