2. Дәрежелік қосынды ұғымы. Оның қасиеттері туралы теорема.

 (2.2) түрінде берілген функционалдық қатар дәрежелік қосынды  деп аталады. Мұндағы   - нақты сандар.

 Абель теоремасы. 1. Егер дәрежелік қосынды   болғанда жинақты болса, онда   теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір х үшін де қосынды жинақты болады.

2. Егер дәрежелік қосынды   болғанда жинақсыз болса, онда   теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір х үшін де қосынды жинақсыз болады.

Абель теоремасынан мынадай тұжырым жасауға болады:

Кез келген дәрежелік қосындының жинақты облысы ретінде   интервалы алынады. Мұндағы R-жинақты радиусы, ал  жинақты интервалы деп аталады.   нүктелерінде қатардың жинақтылығын тексеру үшін дәрежелік қатарға   мәндерін қойғанда пайда болатын сандық қатарларды тексеру жеткілікті.

Егер   болса, онда дәрежелік қатар тек   нүктесінде жинақты болады.

Егер   болса, онда дәрежелік қатар х-тің кез келген мәнінде жинақты болады.

3. Сызықтық оператор матрицасы. X пен ɸ(X) векторларының координат бағандарының байланысы.

Өлшемі шектеулі сызықты кеңістіктерді қарастырайық. Оларды Х_n жәнеУ_m cимволдарымен белгілейік. Х_n - n- өлшемді, У_m - m-өлшемді сызықты кеңістік.

Х_n кеңістігінен Уm кеңістігіне әсер етуші А операторы деп Х_n кеңістігінің әрбір х элементіне қандай да бір заңдылықпен У_m кеңістігінің белгілі біру элементін сәйкес қоятын бейнелеуді айтады. Оператор үшін мынадай белгілеулер пайдаланады: A: Х_n → У_m ;

y=Ax.

Ал А операторы Х_n кеңістігінің кез келген х, х¢ элементтері үшін және кез келген λ саны үшін келесі екі шартты қанағаттандырар болса :

1) A(x + х¢)=Ax +Aх¢;

2) A(λx)=λAx,

 

онда мұндай операторды сызықты оператор деп атаймыз.

А сызықты операторы n-өлшемді Х_n сызықты кеңістігінде беріл-ген болсын және e₁, e₂ ,..., e_n осы кеңістіктің базисі болсын, А: Х_n ® Х_n

А операторының матрицасы оператордың осы базистің элементтеріне әсері арқылы анықталады. Аe₁, Аe₂ ,..., Аe_n элементтері де Х_n кеңістігінде жататын болғандықтан оларды базис бойынша жіктеуге болады:

 

 (1)

 

Өрнектің матрицасы

 =     (2)

 

А операторының e₁, e₂, ..., e_n базисіндегі матрицасы деп аталады.

Егер осы кеңістіктің басқа бір базисін таңдап алар болсақ, айта-лық   , онда А операторының осы базис бойынша да матрицасы бар, бірақ бұл матрица   матрицасынан өзгеше болады.

4. Алгебралық операция ұғымы. N-арлық операциялар. Мысалдары

Біз жиындармен, пікірлермен, предикаттармен, сандармен және т.б. жүргізілетін операциялармен таныспыз. Демек бұл, операцияларды табиғаты әралуан кез-келген объектілермен жүргізуге болатындығын және бұл жағдайды оның көптеген жалпы қасиеттерінің сақталатындығын білдіреді. Сондықтан табиғаты әралуан объектілерге қолданылатын операцияларды бірізді көзқарас негізінде зерттеуді жүзеге асыру мақсатында және осыған мүмкіндік туғызу үшін берілген жиындағы алгебралық операция ұғымы енгізіледі.

Біз әрбір нақты операцияның өз белгісі бар екендігін білеміз. Мысалы: қосу - “+” таңбасымен, азайту - “-” атңбасымен, көбейту - “х” немесе “.” таңбасымен, бөлу - “:” таңбасымен белгіленеді. Дербес жағдайларда амалдарды алгебралық операциялардың мысалы ретінде қарастырғанда, бұл таңбалар сәйкес амалдардың белгіленуі ретінде пайдаланылады. Бірақ та жалпы алғанда, алгебралық және дербес алгебралық операцияларды белгілеу үшін *, о, т және басқа шартты таңбалар қолданылады. Сондықтан z элементі (х,у) элементтерімен жүргізілген операцияның нәтижесі деген былай белгіленеді: х*у, хоу, хТу және т.б.

Алгебралық операцияның таңбасы компенентерінің арасына қойылады. Сонымен бірге бұл жазу операцияның нәтижесі – алгебралық операция берілген жиын элементтерінің реттелген парына сәйкес келетін оның үшінші элементін көрсетеді

Df. А - Еркін емес бос жиынтығы және N - натурал саны берілсін. Кез келген ω: →A бейнеленсе, онда ол А жиынының n- арлық операциясы деп атайды

Осылайша, осы анықтамаға сәйкес, n- арлық операцияжәне әрбір ( , ..., ) ∈ бірегей b∈A элементін байланыстырады. Мысалы: , - А жиынының n- арлық операциясы

5. Z - жиыны сақина болатынын көрсету керек.