Момент количества движения материальной точки. Кинетический момент системы
Для материальной точки массой m, движущейся со скоростью , момент количества движения относительно центра О равен.
(3.26)
Момент
количества движения
приложен к точке О, относительно которой
он вычисляется (рис. 3.9).
Рисунок 3.9
Моментом
количества движения точки
относительно оси
z
называют алгебраический момент проекции
количества движения точки
на
плоскость П (рис. 3.10), перпендикулярную
оси z,
относительно точки пересечения оси с
этой плоскостью
.
Для механической системы моментом количества движения (кинетическим моментом) относительно какой-либо точки О называют векторную сумму моментов количества движения точек этой системы, взятых относительно точки О
(3.27)
Рисунок 3.10
Кинетический
момент системы
приложен к точке О, относительно которой
он вычисляется.
Кинетический момент механической системы относительно оси z равен алгебраической сумме моментов количества движения всех точек системы относительно той же оси
(3.28)
Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения
Твердое тело вращается относительно оси z c угловой скоростью ω (рисунок 3.11).
Рисунок 3.11
При вращении тела вокруг оси скорость произвольной точки тела равна
(3.29)
где
- расстояние от точки до оси вращения.
В соответствии с выражением (25) получим
(3.30)
так как при
вращении тела скорости точек лежат в
плоскостях, перпендикулярных оси
вращения тела, то есть
.
Подставляя в выражение (3.30) значения
скоростей точек (3.29) получим
Учитывая, что
по определению есть осевой момент
инерции тела, а
есть проекция угловой скорости на ось
z, получим следующее
выражение для кинетического момента
вращающегося тела
(3.31)
Теорема об изменении момента количества движения точки
Для материальной точки основной закон динамики можно представить в виде
Умножая обе части этого соотношения слева векторно на радиус-вектор (рис. 3.9), получаем
(3.32)
В правой части этой формулы имеем момент силы относительно точки О. Преобразуем левую часть, применив формулу производной векторного произведения
Но
как векторное произведение параллельных
векторов. После этого получаем
(3.33)
или
(3.34)
Первая производная по времени момента количества движения точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.
П
ример
вычисления кинетического момента
системы. Вычислить кинетический
момент относительно точки О системы,
состоящей из цилиндрического вала
массой М = 20 кг и радиусом R
= 0.5м и спускающегося груза массой m
= 60 кг (рисунок 3.12). Вал вращается вокруг
оси Oz с угловой скоростью
ω = 10 с-1.
Рисунок 3.12
;
;
При заданных входных данных кинетический момент системы
Теорема об изменении кинетического момента системы. К каждой точке системы приложим равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точке системы можно применить теорему об изменении момента количества движения, например в форме (3.33)
Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим
По определению кинетического момента системы и свойству внешних и внутренних сил
,
поэтому полученное соотношение можно представить в виде
(3.35)
Первая производная по времени кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.