3. Динамика

В динамике изучается механическое движение материальных объектов с учетом их взаимодействия с окружающими материальными тела и средой, т.е. с учетом сил, действующих на эти объекты. Из статики в динамику переносят аксиому освобождения от связей точек системы, теорию сложения сил и приведения систем сил к простейшему виду, из кинематики — методы и приемы описания движения и запись уравнений связей.

3.1. Динамика материальной точки

3.1.1. Законы динамики

Основу классической механики составляют принятые как аксиомы законы Ньютона, в современной форме сформулированные для простейшей модели материального тела — материальной точке.

1. Первый закон (закон инерции). Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если она не испытывает действия или находится под действием уравновешенной системы сил.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при уравновешенных внешних силах, действующих на него, называется инертностью. Явление сохранения скорости тела при уравновешенных внешних силах называют инерцией. Инерциальными системами отсчёта называют системы, в которых выполняется первый закон Ньютона. Система отсчёта, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальная, однако при решении многих её можно считать инерциальной.

2. Второй закон (основной закон динамики). Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и совпадает с ней по направлению (рисунок 3.1.) Таким образом, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:

, (3.1)

где - масса точки, - ускорение точки,

- действующая на точку сила.

3. Третий закон (закон равенства действия и противодействия).

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, расположены на одной прямой, равны по модулю и противоположны по направлению.

Рисунок 3.1

4. Четвертый закон (принцип суперпозиции сил). Если на материальное тело действуют несколько сил, то результирующая (равнодействующая) сила равна геометрической (векторной) сумме сил:

Если на материальную точку действует несколько сил, то каждая из них сообщает точке такое же ускорение, как если бы других сил не было.

3.1.2. Две задачи динамики точки

Из формулы (3.1) получим векторное диффиренциальное уравнение движения точки

. (3.2)

Первая задача: задано движение точки. Определить силы, в следствии которых это движение реализуется.

Вторая задача (основная задача динамики): заданы силы, действующие на материальную точку. Определить закон движения точки.

Решение первой задачи динамики в векторной форме.

Дано: . Определить .

По второму закону Ньютона , откуда получим

(3.3)

Решение первой задачи динамики в декартовых координатах

Дано: m, x=x(t), y=y(t), z=z(t) Определить

Проецируя уравнение (3.3) на оси координат, получим

Решение второй задачи динамики в векторной форме

Дано: , или . Определить .

По второму закону Ньютона , откуда получим

(3.4)

Уравнение (3.4) представляет собой векторное дифференциальное уравнение второго порядка. Для его решения используется координатный способ задания движения.

Решение второй задачи динамики в декартовых координатах

Дано: , . Определить .

Проецируя уравнение (3.4) на координатные оси получим систему трех скалярных уравнений второго порядка

(3.5)

В этих уравнениях проекции силы на координатные оси в общем случае являются функциями времени, координат и скоростей точки, то есть

(3.6)

Решение системы уравнений (3.5) проводится с учетом функциональных зависимостей (3.6). Общее решение системы можно представить в виде

Произвольные постоянные определяются из начальных условий. Подставляя в начальные условия общее решение, записанное для получим шесть уравнений для определения шести произвольных постоянных

(3.7)

Определяем произвольные постоянные из уравнений (3.7) и подставляем их в общее решение. Получаем частное решение, то есть решение основной задачи динамики.