Размеры зоны предельного состояния в анизотропном массиве

Угловая координата , град.	Значения радиуса rS в долях R0 при коэффициентах бокового распора
	1,0	0,8	0,6	0,4
0	1,114	1,268	1,418	1,574
22,5	1,239	1,323	1,411	1,502
45	1,518	1,457	1,394	1,328
67,5	1,797	1,591	1,377	1,154
90	1,912	1,647	1,371	1,081

2.6. Реологические модели массива

2.6.1. Вязкоупругие модели

Реологические модели отражают свойство ползучести (течения) горных пород («рео» в переводе с греческого означает «течь»), т.е. их способность деформироваться во времени при постоянных напряжениях.

Структурные схемы реологических моделей (рис.2.31) включают вязкий элемент Ньютона. Он представляет собой поршень в цилиндре с вязкой жидкостью. В вязком элементе напряжения пропорциональны скорости деформации:

,

где  – коэффициент динамической вязкости, Пас.

Величина, обратная вязкости, называется текучестью.

Вязкость характеризуется также коэффициентом кинематической вязкости

,

где  – плотность.

Модели, включающие упругие и вязкие элементы, называют вязкоупругими.

При ступенчатом нагружении в среде в начальный момент возникают упругие мгновенные деформации (рис.2.32 а), а затем во времени развиваются де­формации ползучести. Скорость ползучести во времени уменьшается и через некоторое время может стать нулевой (кривая 1) или постоянной (участок ВС на кривой 2).

При достаточно большом уровне напряжений кривая ползучести 3 может иметь два участка неустановившейся ползучести, разделенных точкой перегиба М. Участки характеризуются убывающей, а затем сразу возрастающей скоростью деформации, приводящей к разрушению.

Ордината кривой ползучести в произвольный момент времени включает упругую (условно мгновенную) деформацию _е и вязкоупругую _et, развивающуюся во времени:

Для описания ползучести используются структурные модели и соответствующие им физические уравнения (уравнения состояния), получаемые на основании испытания горных пород.

Рассмотрим линейную наследственную среду. Теория линейной наследственной ползучести позволяет описать деформирование горных пород во времени с учетом истории нагружения. Теория предложена Л.Больцманом и развита В.Вольтерра.

В соответствии с теорией, деформации среды под действием внешних сил продолжаются после их приложения и снятия (наследственность), при этом деформации пропорциональны действовавшим в разные моменты времени напряжениям (линейность) и складываются между собой (принцип суперпозиции).

Понятие о линейности можно проиллюстрировать графиками (рис.2.33). Перестроим кривые ползучести в координатах ,  для фиксированных моментов времени t_i (i = 0, 1, 2, 3). Если получившиеся при этом изохронные зависимости (рис.2.32, а) являются прямыми линиями, то мы имеем дело с линейной наследственной средой.

Согласно указанной теории, ползучесть пород описывается интегральным уравнением Вольтерра второго рода

, (2.28)

где – напряжения и деформации в момент времени t; L(t – ) – функция влияния, ядро наследственности (ползучести).

Заметим, что уравнение (2.28) с экспоненциальными ядрами ползучести описывает модели Максвелла, Кельвина и обобщенной вязкоупругой среды как частные случаи.

Академик Ж.С.Ержанов экспериментально установил, что деформирование горных пород до определенного уровня нагружения соответствует уравнению (2.28) с ядром в виде степенной функции (ядро типа Абеля):

(2.29)

где  и  – характеристики ползучести, получаемые экспериментально,  – в секундах в степени  – 1; 0 <  < 1.

С учетом ядра (2.29) уравнение ползучести (2.28) горных пород приобретает следующий вид:

(2.30)

Уравнение (2.30) можно представить в виде

где ₀ – начальное напряжение; – временной оператор.

Акад. Ю.Н.Работнов показал, что задачу теории линейной наследственной ползучести можно формально рассматривать как задачу теории упругости, в которой вместо упругих постоянных необходимо использовать временные операторы с ядром ползучести. Указанное положение Ю.Н.Работнов назвал принципом Вольтерра.

На основании этого принципа в задачах механики подземных сооружений, в которых граничные условия и объемные силы не зависят от времени, операторные выражения для упругих постоянных можно заменить обычными алгебраическими выражениями, соответствующими ядру интегрального уравнения. Метод решения задач теории ползучести с использованием временных функций вместо упругих постоянных называется методом переменных модулей.

Для опеределения переменных модулей проф. А.М.Линьков и д-р техн. наук Б.З.Амусин предложили использовать Ф-функцию ползучести:

(2.31)

На основании изложенного уравнение ползучести (2.30) приобретает вид

Согласно методу переменных модулей, влияние времени учитывается путем замены деформационных характеристик массива временными функциями. В частности, модуль деформации пород Е (см. рис.2.32, а) можно представить как некоторую функцию времени E_t. Из уравнения (2.30) имеем

Временные функции для коэффициента Пуассона и модуля сдвига имеют вид