ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1.2.1. Алфавит, формулы, система аксиом схем и правило вывода исчисления высказываний.

В части 1.1 Мы рассмотрим алгебру высказываний. В алгебре высказывания изложение логики высказываний является содержательным, использующим аналитическое понятие истинностного значения. В исчислении высказываний изложение логики высказываний. Является формальным, построение с помощью аксиоматического метода. Возможны различные построения исчисления высказываний. Мы рассмотрим одно из них, называя теорией L.

Алфавит и определение формулы – те же что и в алгебре высказываний. Но буквам алфавита не приписывается никакой смысл, - это просто символы, которые можно распознавать и различать.

В алгебре высказываний мы описали класс общезначимые формул, выражающих законы логики на основе понятия истинностного значения. Здесь же законы логики – множество доказуемых формул – они описываются по-другому. Некоторые формулы принимаются в качестве “аксиом”, а для получения новых формул вводится некоторое “правило вывода”. Позже рассмотрим, что обе формулировки логики высказываний – алгебра высказываний и теория L – дают эквивалентные результаты.

Определение 1.14

Аксиомами теории L называются веские формулы, которые порождают нижеследующие формульные схемы при любом выборе формул A,B,C:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

Каждая из схем (1)-(13) порождает счетное множество аксиом, если символы A, B, C заменять конкретными формулами. Поэтому записи (1)-(13) будем называть аксиомными схемами (AC).

Схемы (1)-(13) совпадают с первыми тринадцать формульными схемами предложения 1.6.

Определение 1.15

Правила вывода теории L называют процедуру перехода от двух формул вида A и к одной формуле вида B для любых A и B. Это правило называется modus pondus, MP. Правило MP называют также правилом удаления импликант и обозначают УИ. Формулы A и называют посылками, а B – заключением правила MP.

1.2.2 Формальное доказательство и формальный вывод.

Определение 1.16

Формальным доказательством (в теории L) называется конечная последовательность формул , причем каждая формула этой последовательности либо аксиома, либо получена по правилу MP из каких-либо двух предшествующих формул этой последовательности. Формальное доказательство является доказательством своей последней формулы . Формула B называется формально доказуемой, или формальной (теории L), если она имеет формальное доказательство.

Утверждение “Формула B формально доказуема в теории L” обозначается .

Введем соглашения:

1. Индекс L опускать;

2. Говорить «формальное доказательство», «формально доказуема», «формальная теорема» - доказательство «доказуема», «теорема».

Пример 1

Установить, что

1. 1. AC2 C=A,

2. 2. AC1

3. 3. MP(2, 1)

4. 4. AC1

5. 5.MP(4, 3)

Пояснение AC2 A, , B, C означает, что записано AC2, в которой формула С заменила формулой А, а формула В – формулой , пояснение MP(2, 1) означает, что формула получена в результате применения правила MP к формулам с номерами 2 и 1.

Следует заметить, что в проверенном доказательстве каждая из пяти формул. Является теоремой, в том числе и выписывание первые две аксиомы: доказательство любой аксиомы состоит из этой аксиомы.

Определение 1.17

Формальным выводом формулы B из формул, которые называются посылками или гипотезами называется конечная последовательность формул , заканчивающаяся формулой , причем каждая формула этой последовательности:

1. или одна из посылок ;

2. или аксиома;

3. или формула, полученная из некоторых двух предшествующих формул этой последовательности по правилу MP.

Если формальный вывод B из формул , то формула B называется формально выводимой из формул и обозначается: , или , где .

Очевидно, что доказательство – частный случай формального вывода из пустого множества посылок.

Введем соглашение: вместо «формальный вывод», «формально-выводима» будем говорить «вывод», «выводима».

В определениях 1.16 и 1.17 употребляемые термины «формальное доказательство», «формально доказуема», «формальный вывод», «формально-выводима» для явного указания на то, что эти доказательства и выводы строятся в предметной языки. Используемые слева от доказательства или вывода нумерация и справа от доказательства или вывода пояснения уже относится к метаязыку.

Пример 2

Установить, что , .

1. 1. Посылка

2. 2. Посылка

3. 3. AC4

4. 4.MP (2, 3)

5. 5. AC5

6. 6. MP (2, 5)

7. 7. MP (4, 1)

8. 8. MP (6, 7)

9. , 9. ОФВ- определение формального вывода (1-8)

Запись 9 подытоживает формальный вывод формулы С из формул , . Запись 9 сделана на метаязыке.