4.4. Принципы построения математической модели динамики полета летательного аппарата

Математические модели, описывающие движение летательных Я аппаратов, составляют предмет важнейших разделов таких научных дисциплин, как динамика и теория управления полетом. Однако специфика построения авиационных тренажеров накладывает свои условия на рассмотрение летательных аппаратов как объектов моделирования. Это обусловлено необходимостью учета требований, предъявляемых к системам моделирования динамики, полета пилотажных и комплексных тренажеров.

Система моделирования динамики полета в авиационных тренажерах должна обеспечивать адекватное воспроизведение всех этапов полета Л А с обязательным выполнением основных задач каждого этапа: взлета, набора высоты, полета по маршруту, захода на посадку, посадки и руления как в стандартных, так и в нестан­дартных атмосферных условиях, в том числе при наличии тур­булентности и ветра различной интенсивности. Должна обеспечи­ваться адекватная имитация отказов и воздействий, предусмотрен­ных системой PC.

В КАТ с достаточной точностью должны быть воспроизведены взлетно-посадочные характеристики, скороподъемность и практи­ческий потолок, максимальные и минимальные скорости горизон­тального полета, характеристики устойчивости и управляемости, маневренные свойства, критические режимы, дальность и продолжи­тельность полета, а также другие характеристики имитируемого Л А.

Модели движения летательных аппаратов, реализуемые в сис­темах моделирования (имитаторах) динамики полета (ИДП) играют большую роль в функциональных схемах пилотажных и комплекс­ных тренажеров, так как они являются основными источниками информации для воспроизведения характеристик имитируемого ЛА и его бортовых систем в заданном диапазоне изменения параметров ОУЭ, в том числе на критических режимах и при возникнове­нии аварийных ситуаций. В ИДП формируется также информа­ция, используемая в системах визуализации и подвижности.

Вопросам математического описания движения летательного ап­парата уделяется много внимания в отечественной и зарубежной литературе по динамике полета. Рассмотрим некоторые особенности, которые характерны для математических моделей динамики полета, используемых в современных КАТ. Будем считать, что движение ЛА, имитируемого в КАТ, должно происходить в некоторой облас­ти изменения высот и скоростей полета²². Эта «разрешенная» об­ласть определяется динамическими, конструктивными и эксплуата­ционными характеристиками' имитируемого летательного аппарата.

Тогда для описания изменения координат летательного аппарата используем дополненную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши в виде (4.1).

В качестве базовых систем координат для описания движения ДА примем земную систему координат OgXgYgZg с началом в произ­вольной точке земной поверхности и жестко связанную с ЛА систему координат OXYZ, расположенную в центре масс ЛА. Тогда вектор дальности D и его проекции на оси земной системы координат описывают движение центра масс ЛА по траектории и опреде­ляются через проекции вектора путевой скорости Vk, углы крена у, тангажа v, рыскания ф и матрицу направляющих косинусов:

Линейные координаты xg, yg, zg, полученные при решении системы (4.21), используются для воспроизведения навигационной обста­новки в системах моделирования пилотажно-навигационных ком­плексов и регистрации маршрута полета.

В полете на летательный аппарат действуют: сила тяги двига­телей установленных под углом , полная аэродинамическая сила R и сила тяжести G. Результирующая сила тяги направ­лена вперед при прямой тяге и назад при включении реверса. Сила веса приложена в центре тяжести и направлена по вертикали к центру Земли. Полная аэродинамическая сила R разлагается на три составляющие силы Q, Y, Z. Сила Y направлена перпенди­кулярно набегающему потоку и называется подъемной силой. Сила лобового сопротивления Q направлена параллельно набегающему потоку в сторону, противоположную движению самолета. Боковая аэродинамическая сила Z направлена перпендикулярно плоскости, содержащей составляющие силы Q и У. Составляющие аэродинами­ческой силы равны: Q=cxqS; Y=cyqS; Z=czqS, где сх, су, сz — коэффициенты аэродинамических сил;

Сила тяги Р сложным образом зависит от многих параметров — отклонения рычагов управления двигателей, высоты, скорости, тем­пературы наружного воздуха, подключения потребителей (например, системы кондиционирования) и пр.

Аэродинамические коэффициенты представляют собой сложную функцию большого числа переменных — числа М, угла атаки (или эквивалентного ему коэффициента подъемной силы), угла скольже­ния, отклонений многочисленных управляющих поверхностей и средств механизации (их можно обобщенно обозначить через угол б,). Существует большое число способов их представления. Одним из них является следующая:

При моделировании движения ЛА на взлетно-посадочной полосе в уравнение (4.24) необходимо добавить дополнительные члены, учитывающие взаимодействие элементов ЛА с ВПП.

Учитывая, что взлет и посадка осуществляются с имитацией визуальной обстановки и ряда физических факторов полета, модель движения по ВПП должна быть достаточно полной. Дальнейшим развитием модели должно являться расширение состава учитывае­мых факторов: профиля ВПП, моделирования касания, руления и стоянки.

Уравнения вращательного движения ЛА относительно его центра масс запишем в виде:

Графические зависимости или табличные значения коэффициен­тов аэродинамических сил сх, су, cz и моментов mх, mу, mz, получен­ные в результате испытаний моделей ЛА в аэродинамических трубах или путем теоретического расчета, использовать непосредственно в исходном виде в математической модели затруднительно. Поэтому возникает необходимость в преобразовании нелинейных зависимос­тей коэффициентов сил и моментов к виду, удобному для реализа­ции в вычислительном устройстве тренажера.

Одним из методов математического описания аэродинамических коэффициентов является подбор эмпирических формул, воспроиз­водящих графически заданные функциональные зависимости. Про­цесс подбора эмпирической формулы в данном случае подразделяет­ся на два этапа:

выбор вида формулы по соображениям наиболее возможного упрощения математической модели движения Л А; определение численных значений параметров, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим.

В результате преобразований все аэродинамические коэффициенты сил и моментов представляется возможным описать функ­циями двух переменных вида

(4.27)

f(x, y)= f0(x)+ f1(x) f1(y)+…

с кусочно-линейной аппроксимацией зависимостей f0(x), f1(x), f1(y). При этом, исходя из заданных максимальных погрешностей моде­лирования исходной функции, более удобно для аппроксимации функций f0(x), f1(x), f1(y)... использовать способ наименьших квад­ратов. Процедуру кусочно-линейной аппроксимации рассмотрим на примере функции f (х). С этой целью весь диапазон аргумента х разобьем на n участков и для каждого из участков выбираем линейную зависимость вида

(4.28)

fi(x)=ai + bixii=1...n

Коэффициенты аi и bi для каждого участка подбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений принимала наименьшее значение, т. е.

Решая эту систему, находим для каждого участка соответствующие коэффициенты аi и bi. Изложенный метод получения математи­ческих зависимостей для аэродинамических коэффициентов позво­ляет функцию нескольких переменных привести к определенному сочетанию функций одной переменной.

Целесообразность применения данного метода обоснована прос­тотой оценки влияния каждой отдельной переменной на результи­рующую летную характеристику, имитируемую системой моделиро­вания динамики полета самолета. Кроме того, метод позволяет легко осуществить коррекцию характеристик тренажера. Такая кор­рекция необходима в случае изменения исходных данных, выявле­ния по результатам летных испытаний самолета каких-либо отли­чий; используется коррекция и при доводке тренажера «под лет­чика», настройке или регулировке имитаторов, выполнении профилактических и регламентных работ. К недостаткам метода следует отнести сравнительно низкую точность аппроксимации и большой объем расчетных работ.

Применение в тренажерах ЦВМ позволяет исключить отмечен­ные недостатки метода кусочно-линейной аппроксимации, если за­даться табличным способом представления аэродинамических коэф­фициентов. Покажем это на примере аппроксимации заданной функ­ции у=f (x) одной переменной. Полагаем, что аргумент принимает значения, условно называемые «целыми», в виде арифметической прогрессии с шагом таблицы h:

В цифровых тренажерах получил применение табличный метод задания функций двух переменных. Если для функций двух переменных z=f(x, у) такая таблица составлена, то легко получить следующие интерполяционные выражения:

Применение табличного метода задания функций от трех перемен­ных нерационально. Поэтому для аэродинамических коэффициентов, зависящих от трех и более параметров, целесообразно подобрать эмпирические формулы, содержащие комбинацию функций одной и двух переменных.

Кинематические уравнения при воспроизведении маневров ЛА обычно записываются в пределах углов крена у и тангажа v, не превышающих 90°. Однако эти уравнения можно использовать для определения углов крена, тангажа и рыскания в широком диапазоне их изменения при маневрах в вертикальной и горизон­тальной плоскостях, если записать их в виде следующих выражений:

Математическая модель (4.20)...(4.26) является достаточно об­щей и отражает все особенности движения летательного аппарата на эксплуатационных режимах полета и при выходе на критичес­кие углы атаки.

Система уравнений (4.21)…(4.35) описывает общий случай дви­жения самолета в полете, когда V>0 и Н>0. Поскольку полет яв­ляется управляемым, то для того, чтобы замкнуть систему уравнений, необходимо дополнительно включить составляющие управ­ления g(t), в(t), ст(t), н(t), и э(t), которые характеризуют соответственно законы управления авиадвигателем, рулем высоты или стабилизатором, рулем направления и элеронами. Тогда при заданных начальных условиях рассмотренная система будет иметь единственное решение, определяющее параметры движения самолета в воздушной среде. При этом предполагается, что моделируемый полет происходит в стандартных атмосферных условиях. Для имита­ции полета в атмосферных условиях, отличающихся от стандарт­ных, вводятся поправки по температуре и давлению в составляющие тяги двигателя, а также в выражения для скорости звука а(Н), плотности и других параметров.