Задача №3

На токарном полуавтомате изготавливают втулки. Из партии втулок взята выборка объемом n=20 и измерены наружные диаметры втулок. По результатам измерений подсчитаны средний диаметр =60,12 мм и среднее квадратическое отклонение σ=0,322 мм. Полуавтомат настроен на размер d₀=60 мм. Проверить правильность настройки станка.

Решение

Уровень значимости принимаем равным α = 0,05. Доверительная вероятность в этом случае будет равна P = 1-α = 0,95.

Определим критерий Стьюдента.

Определим доверительный интервал ∆

Вывод: станок настроен верно, так как настроечный размер попадает в доверительный интервал.

Задача №4

Погрешность закрепления ε_з в пневматическом приспособлении характеризуется средним квадратическим отклонением σ=0,224 мкм. Приспособление было усовершенствованно для стабилизации силы закрепления. Погрешности закрепления на новом приспособлении следующее: 0,6; 0,5; 0,4; 0,5; 0,3 мкм. Можно ли считать усовершенствование эффективным?

Решение

Для начала определимся с термином эффективное усовершенствование. Эффективным будет являться такое усовершенствование, при котором поле рассеяния приспособления уменьшится, в сравнении с полем рассеяния приспособления до усовершенствования.

Выразим неравенством эффективное усовершенствование

,

где σ₁ – поле рассеяния до усовершенствования, σ₂ – поле рассеяния после усовершенствования.

Определим σ₂

_{По результатам вычисления видно, что σ1>σ2.}

_{Вывод: так как новое значение поля рассеяния меньше, усовершенствование приспособления можно считать эффективным.}

Задача №5

На двух станках изготавливают втулки. Результаты измерений 10 деталей, изготовленных на первом станке и 8 деталей, изготовленных на втором станке, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Исходные данные к задаче 5

d1 ,мм	30,02	30,12	30,24	30,16	30,20	30,08	30,16	29,98	30,00	29,96
d2,мм	30,02	30,04	30,06	30,08	30,05	30,24	29,98	30,10

Проверить предположение о том, что станки обладают различной точностью.

Решение

Первоначально определим среднее арифметическое и среднее квадратическое для первого и второго станка.

Следующий шаг - расчет дисперсий

мм²

мм²

Рассчитаем критерий Фишера, который представляет собой отношение дисперсий, по следующей формуле:

В нашем случае S₁>S₂, поэтому отношение не изменяется.

Для нашего случая критическое значение критерия Фишера равно

F_кр = 3,45

F<F_кр

Это говорит об отсутствии значительного различия в дисперсиях, то есть может быть принята гипотеза о равенстве двух значений. Следовательно, можно сделать вывод, что оба станка настроены с одинаковой точностью.

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, который вычисляется по следующей формуле:

,

_{где x1 и x2 – выборочные средние, S|x| - средневзвешенное среднее квадратическое отклонение.}

Величины средневзвешенного среднего квадратического отклонения определим через средневзвешенную дисперсию.

Средневзвешенная дисперсия определяется по формуле

Для нашего случая значение средневзвешенной дисперсии равно

Средневзвешенное среднее квадратическое отклонение равно

Тогда t-критерий Стьюдента равен

Для нашего случая критическое значение t-критерия Стьюдента равно

t_кр = 2,12

t < t_кр

Вывод: поскольку оба критерия имеют значения меньше критических, то теорию о равенстве дисперсий принимаем, следовательно, станки обладают одинаковой точностью.