Указания к выполнению контрольной задачи к3

Рекомендуемая учебная литература: [1], часть 1: гл. XIV, §111–116, с.275–302; [2]: гл. XIII, § 64–67, с.155–169.

Задача К3 – на определение абсолютной скорости и абсолютного уско­рения точки, совершающей сложное движение.

Рассмотрим движение точки М относительно двух систем координат Oxyz и O₁x₁y₁z₁, движущихся друг относительно друга (рис. 22). В механике системы координат предполагаются жестко скрепленными с телами, по от­ношению к которым рассматривается движение точки. Тела на рисунках не показываются.

П усть задано движе­ние системы координат Oxyz относительно системы ко­ординат O₁x₁y₁z₁. Движение точки М относительно сис­темы координат O₁x₁y₁z₁ называют сложным, если задано ее движение относи­тельно системы координат Oxyz. Систему координат O₁x₁y₁z₁ принимают при этом за неподвижную или основную, а систему коор­динат Oxyz – за подвижную. Движение точки М относительно подвижной системы координат называют отно­сительным. Соответственно траектория (рис. 22), ско­рость и ускорение точки в ее движении относительно подвижной системы координат называ­ются относительными. Положение точки М по отношению к системе коор­динат Oxyz определяет радиус-вектор .

Для определения относительной скорости и относительного ускорения точки следует мысленно остановить движение подвижной системы коорди­нат и вычислить их по правилам кинематики точки.

Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называют переносным движением.

Переносной скоростью (ускорением ) точки М в данный момент времени называют вектор, равный скорости (ускорению ) той точки т подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент дви­жущаяся точка М. Для определения переносной скорости и переносного ускорения в данный момент времени необходимо мысленно остановить в этот момент времени относительное движение точки, определить точку т тела, неизменно связанного с подвижной системой координат, где находится в остановленный момент точка М, и вычислить скорость и ускорение точки т тела, совершающего переносное движение относительно неподвижной системы координат.

Движение точки М относительно неподвижной системы координат называют абсолютным. Соответственно, траекторию (рис. 22), скорость и ускорение относительно неподвижной системы координат называют аб­солютными.

Абсолютная скорость точки определяется по теореме о сложении скоростей, согласно которой абсолютная скорость точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме переносной и относитель­ной скоростей:

= + . (2.19)

Абсолютное ускорение точки определяется по теореме Кориолиса, согласно которой абсолютное ускорение точки, совершающей сложное дви­жение, равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений:

= + + . (2.20)

Кориолисово ускорение вычисляется по формуле:

, (2.21)

где – вектор угловой скорости переносного движения, – вектор относи­тельной скорости точки. Направление вектора кориолисова ускорения опре­деляется по правилу векторного произведения: кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и (рис. 23), в ту сторону, откуда кратчайший поворот от вектора к вектору видится происходящим против хода часовой стрелки.

М одуль кориолисово ускорения равен .

При переносном поступательном движении кориолисово ускорение в формуле (2.20) обращается в нуль:

= + .

Согласно вышеизложенному, задачу КЗ рекомендуется решать в сле­дующей последовательности:

1) рассмотреть движение точки как сложное, разложив его на пере­носное и относительное движения;

2) выбрать подвижную и непод­вижную системы координат;

3) определить угловую скорость и угловое ускорение переносного движения подвижной системы коор­динат;

4) мысленно остановив движе­ние точки М в ее относительном дви­жении в заданный момент времени, определить точку т подвижной сис­темы координат, где окажется оста­новленная точка;

5) определить переносные скорость и ускорение , вычислив ско­рость и ускорение точки т подвижной системы координат относительно не­подвижной системы координат;

6) мысленно остановив переносное движение подвижной системы ко­ординат, определить относительные скорость и ускорение , точки в за­данный момент времени;

7) определить кориолисово ускорение точки в заданный момент времени;

8) по теореме сложения скоростей определить абсолютную скорость точки;

9) методом проекций по теореме сложения ускорений определить аб­солютное ускорение точки.