15. Показатели качества параметрических методов обработки сигналов.

15.1. Рабочие статистики обнаружения и оценивания (на примере ар методов)

П ередаточная функция АР фильтра имеет вид:

(15.1)

Е й соответствует оценка СПМF_AP(f), выраженная через коэффициенты авторегрессии а_k (параметры АР моделипорядка К):

(15.2)

или полюса z_k:

(15.3)

Заметим, что аппроксимируемый АР моделью процесс x(n) может быть однозначно представлен в эквивалентном формате либо с помощью коэффициентов автокорреляцииr_xx(k), вычисленныхв соответствии с (14.1), либо с помощью параметров АР модели а_k, найденных как решение системы уравнений Юла – Уоккера вида (14.7),либо с помощью коэффициентов отражения решетчатого фильтра предсказаниявида (14.9) _k, найденных на основе рекуррентного алгоритма ПОЛП, либо с помощью комплексных полюсов вида (14.25)z_k=z_kexp{jarg(z_k)}, найденные как решение характеристического уравнения (14.24). Во всех случаях размерность вектора данных, однозначно представляющих анализируемую выборку процесса{x(n)} длиной N, одинакова и не превышает размер выборки: K<N. Более того, можно утверждать, что все форматы представления эквивалентны и однозначно связаны между собой.

В качестве рабочей статистики удобнее выбрать форму представления СПМ вида (15.3). Это избавляет от необходимости очень подробного вычисления зависимости СПМ от частоты при высоких отношениях сигнал/шум (ОСШ), когда острота спектральных максимумов приближается к дельта-функции. Поскольку максимумы СПМ при больших ОСШ располагаются по частоте в точках, соответствующих аргументам полюсов, то в качестве рабочих статистик обнаружения, подлежащих сравнению с порогом обнаруженияγ, целесообразно выбрать значения СПМ, вычисленные в точках, соответствующих

( 15.4)

Тогда рабочая статистика обнаружения примет вид:

( 15.5)

При этом выражение (15.4) является, по сути, рабочей статистикой оценивания частотного параметра. Можно сказать, что мы имеем дело с алгоритмом совместного обнаружения и оценивания.

Известно, что параметр Р_К представляет собой мощность ошибки предсказания на выходе алгоритма ПОЛП. В случае, если на вход алгоритма воздействует процесс, представляющий аддитивную смесь сигнала и нормального дельта-коррелированного шума, а сигнал адекватно описываемой АР моделью, то мощность ошибки предсказания является, по сути, мощностью аддитивного шума, сопутствующего измерениям. Как известно, при выбранном (фиксированном) пороге обнаружения γ вероятность ложной тревоги (ВЛТ) Fопределяется только мощностью шума. Если провести нормировку рабочей статистики обнаружения (15.5) к оценке мощности шума Р_К, получим модифицированный алгоритм, обеспечивающий постоянство ВЛТ:

Тогда модифицированная рабочая статистика обнаружения, инвариантная к уровню шума, примет вид:

(15.7)

При этом ВЛТ постоянна: F=const.

Рабочая статистика оценивания частотного параметра (15.4) при нормировке СПМне изменяется.

15.2. Характеристики обнаружения ар алгоритма.

На рисунке 15.1 приведены характеристики обнаружения (ХО) для авторегрессионного алгоритма ПОЛП, построенные для разных длин выборки анализируемого сигнала Nот 5 до 128. Сплошными линиями на рисунках приведены ХО исходного алгоритма ПОЛП с рабочей статистикой (15.5) для различных значений порядка АР моделей К, штрихпунктирными линиями приведены ХО нормированного алгоритма ПОЛП с рабочей статистикой (15.7). Для сравнения пунктирными линиями приведеныоптимальные ХО, соответствующие согласованной обработке.

Как видно из графиков, АР алгоритм ПОЛП проигрывает оптимальным ХО, однако этот проигрыш не превышает 3 дБ при длинах выборки Nот 5 до 128 отсчетов, что позволяет считать алгоритм ПОЛПсубоптимальным в задаче обнаружения на фоне нормального дельта-коррелированного шума одиночного гармонического сигнала с фиксированной амплитудой и со случайными и равномерно распределенными в интервале [-π, π] начальной фазой и нормированной к шагу дискретизации частотой. Это позволяет на практике использовать АР алгоритмПОЛП как самостоятельный алгоритмобработки сигналов в классической задаче обнаружения при реализации пространственно-временной обработки в различных радиолокационных приложениях.

Нормированная рабочая статистика, обеспечивая стабилизацию ВЛТ, проигрывает исходным ХО алгоритма ПОЛП, причем проигрыш становится незначительным при росте размера выборки N. Следует отметить, что и оптимальные ХО, соответствующие в этом случае согласованной обработке, также смещаются влево.

Рис. 15.1.

Влияние порядка модели К также неоднозначно: при малых N<8 увеличение порядка приводит к ухудшению ХО, а при больших N>8 – наоборот. Заметим, что на практике порядок АР модели К должен быть не менее числа разрешаемых целей в просматриваемом элементе пространства. Это требует либо устанавливать завышенный порядок модели исходя из априорной практики применения радиолокатора в конкретных условиях, либо использовать существующие критерии определения порядка модели на основе дополнительного анализа принимаемого сигнала.

На рис. 15.2 представлены потери в ОСШ ΔqХО исследуемых АР алгоритмов относительно оптимальных ХО в зависимости от длины выборки анализируемого сигналаN, построенные для фиксированных значений ВЛТF=10^-2 и ВПОD=0,9 на основании графиков рисунка 15.1. Тип линий соответствует рисунку 15.1. Пунктиром приведены потери спектральной обработки при ее практической реализации на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Эти потери, равные примерно 1,5 дБ, объясняются тем, что соседние каналы ДПФ на практике перекрываются друг с другом по главному лепестку на уровне -3 дБ, поэтому при попадании частоты между частотными каналами, сигнал может быть ослаблен на 3 дБ.При случайной и неизвестной априори частоте потери в ОСШ могут изменятся от 0 до 3 дБ, что приводит к средним потерям около 1,5 дБ.

Рис. 15.2.

При обнаружении сигнала со случайной релеевской амплитудой как оптимальные ХО, так и ХО АР алгоритма имеют больший наклон и сдвигаются вправо в области больших значений ВПОD. На рис.15.3 приведены ХО, полученные для длины анализируемой выборки сигнала N=5.Очевидно, что относительное положение ХО оптимальной и АР обработки для полной и нормированной статистики обнаружения остается практически таким же. Как показывают исследования, характер потерь в ОСШ качественно останется таким же, как представлен на рис. 15.2.

Рис. 15.3.

Представляет интерес оценить влияние порядка АР модели на ХО при различных длинах выборкиN. На рисунке 15.4 приведены ХО, полученные при N=5 (рис.15.4,а) и N=64 (рис.15.4,б). Как видно из графиков, при малых длинах выборки увеличение порядка АР модели приводит к перманентному ухудшению ХО, вплоть до потери субоптимальности при К≥3. Напротив, при больших длинах выборки имеет место оптимум, в данном случае при К=10.

а) б)

Рис. 15.4.