14. Авторегрессионная обработка сигналов

Спектральный анализ на основе АР моделей возник как эмпирический метод и получил теоретическое обоснование в рамках критерия максимальной энтропии (МЭ), введенного Дж. Бэргом, и теории линейного предсказания (ЛП), разработанной Н.Винером и А.Н.Колмогоровым и развитой Н. Левинсоном. Критерий максимальной энтропии предполагает при предсказании данных за пределами анализируемой выборки не увеличивать количества информации, содержащейся в исходных (измеренных) данных, путем фиксации удельной энтропии на максимальном для данной выборки уровне. Поскольку критерий МЭ не учитывает в явном виде наличие шума, обычно сопутствующего измерениям, предполагается, что данные известны точно, или, что эквивалентно, известна автокорреляционная последовательность вида:

(14.1)

поэтому критерий МЭ приводит к использованию АР-моделей максимальной длины К=N-1. При отсутствии шума это не вызывает нежелательных эффектов типа появления “лишних” максимумов в оценке СПМ, поскольку происходит естественное согласование порядка АР-модели с порядком анализируемого процесса за счет обнуления излишних АР-параметров а_k. Присутствие шума или незначительные отклонения процесса от чисто авторегрессионного приводят к появлению ложных максимумов и другим искажениям оценки СПМ по методу МЭ. Это происходит из-за плохой статистической обусловленности значений автокорреляционной последовательности с максимальными сдвигами, оцениваемыми по измеренной выборке (один член в сумме при k=N-1).

В методах линейного предсказания уравнения, на основе которых осуществляется предсказание, идентичны АР-уравнениям вида (13.8) и (13.9) с той лишь разницей, что в уравнениях ЛП учитывается присутствие шума:

(14.2)

где предсказанное значение можно определить в прямом и обратном направлениях следующими выражениями:

(14.3)

(14.4)

а параметры и имеют смысл АР-параметров. Можно показать, что для стационарных процессов параметры и связаны как комплексно-сопряженные величины, поэтому верхний индекс может быть в дальнейшем опущен, так как =a_k и = . Критерием предсказания является минимизация суммарной мощности ошибок предсказания P_K , состоящей из элементарных ошибок вида (14.2), вычисленных в пределах выборки длинной N отсчетов в прямом и обратном направлениях:

(14.5)

Отыскание АР-параметров a_k возможно путем решения системы линейных уравнений, получаемых приравниванием нулю частных производных суммарной мощности ошибок предсказания Р_К по всем a_k, которая является вогнутой функцией этих параметров при анализе эквидистантных выборок и поэтому имеет единственный минимум:

, (k=1,2,...,K). (14.6)

В матричной форме полученная система уравнений может быть записана в виде:

R_Ka_K=2 , (14.7)

где: R_K-теплицева матрица с элементами

, (14.8)

a_K-вектор параметров, имеющий вид , 0_K-нуль-вектор (вектор с нулевыми элементами) размером К.

Алгоритм, основанный на решении уравнения (14.7), известен в литературе как ковариационный. Среди многообразия других АР-алгоритмов он отличается наивысшими характеристиками точности и рэлеевского разрешения, однако при этом не гарантируется получения устойчивого решения с полюсами внутри единичной окружности. Это может приводить к аномальным оценкам СПМ, в которых будут пропущены гармонические или узкополосные компоненты. Для радиолокационного обнаружения это эквивалентно пропуску целей.

От этого недостатка свободен алгоритм гармонического среднего или алгоритм Бэрга, называемый в некоторых источниках методом прямого и обратного линейного предсказания (ПОЛП). В алгоритме используется рекуррентный метод решения систем линейных уравнений Левинсона-Дурбина, который предполагает получение решения a_K на последующем шаге рекурсии при порядке АР-модели К на основе решения a_K-1, полученного на предыдущем шаге при порядке модели К-1. Это эквивалентно последовательной минимизации суммарной ошибки предсказанияР_К только по последнему параметру а_К. Алгоритм допускает интерпретацию в виде решетчатого фильтра предсказания ошибки (рис. 14.1), коэффициенты отражения которого _k имеют смысл частных коэффициентов корреляции ошибок предсказания в прямом и обратном направлениях:

, (14.9)

где ошибки прямого и обратного предсказания на выходе К-ой ступени решетчатого фильтра обозначены соответственно как и , а z^-1 означает задержку на один такт (отсчет).

f











Z^-1

Z^-1

₀(n) f₁(n) f₂(n) f_k(n) f_K(n)

₁^* ₂^*_k^*_K^*

x (n)









Z^-1

₁₂_k_K

Z^-1

b₀(n) b₁(n) b₂(n) b_k(n) b_K(n)

Ступень 1 Ступень 2 Ступень k Ступень К

Рис. 14.1. Решетчатый фильтр предсказания ошибки в прямом и обратном направлениях.

Коэффициенты отражения решетчатого фильтра предсказания _k однозначно связаны с АР-параметрами a_k, что позволяет производить минимизацию суммарной мощности ошибки предсказания на основе уравнений вида:

, (k=1,2,...,K). (14.10)

При этом АР-параметры для последующей ступени решетчатого фильтра определяются по рекуррентному соотношению Левинсона:

. (14.11)

Заметим, что всегда а_K,K=_K и а_K,0=1. Мощность ошибки прямого и обратного предсказания Р_К можно вычислить также по рекуррентной формуле через коэффициенты отражения решетчатого фильтра:

, (14.12)

откуда очевидна ее монотонно спадающая зависимость от порядка АР-модели. Для ошибок прямого и обратного предсказания справедливы соотношения:

. (14.13)

Подставляя (14.13) в (14.10) и решая уравнение относительно _k+1, приходим к выражению (14.9). Математические основы рекурсивного решения систем нормальных линейных уравнений Юла-Уоккера с теплицевой структурой корреляционной матрицы можно найти в работе Блейхута, а подробный вывод алгоритма ПОЛП изложен в работе Марпла.

C учетом приведенных формул (14.9), (14.11), (14.12) и (14.13) рекуррентный алгоритм ПОЛП принимает вид:

1) Определяются исходные условия как:

(14.14)

. (14.15)

2)Вычисляются коэффициент отражения первой ступени решетчатого фильтра:

(14.16)

и средняя мощность ошибки предсказания на выходе первой ступени фильтра:

. (14.17)

Из формулы Левинсона (14.11) определяется АР-параметр для первого порядка модели:

а_1,1=₁. (14.18)

3) Вычисляются ошибки прямого f₁(n) и обратного b₁(n) предсказания на выходе первой ступени фильтра:

. (14.19)

на основании которых определяется следующий коэффициент отражения:

(14.20)

Параметры АР-модели второго порядка находятся как:

. (14.21)

Завершается расчет для второй ступени фильтра вычислением суммарной мощности ошибки:

. (14.22)

Рекурсии для последующих порядков фильтров очевидны и не представляют труда при реализации.

После того, как найден вектор АР- параметров a_K для требуемого порядка модели, оценка СПМ может быть вычислена по формуле (13.13) или представлена через полюса:

= (14.23)

где z_k - комплексные полюса, являющиеся решением характеристического уравнения A(z)=0, образованного приравниванием нулю полинома-знаменателя оценки СПМ (13.13) после выполнения z-преобразования вида z=exp{j2f}:

. (14.24)

Полюса могут быть представлены через свои модули и аргументы:

z_k=z_kexp{jarg(z_k)} (14.25)

К достоинствам рекуррентного алгоритма ПОЛП относятся несомненная простота реализации и возможность получения АР-параметров для всех порядков модели, начиная с первого и до максимального значения. Кроме того, в алгоритме ПОЛП имеется возможность оценивания порядка анализируемого процесса на основе сопоставления значений мощностей ошибки предсказания, полученных при различных порядках АР-модели. Получение устойчивых решений системы линейных уравнений, т.е. решений, при которых все полюса гарантированно попадают в единичную окружность на комплексной плоскости, делают алгоритм ПОЛП предпочтительным в классе АР алгоритмов при решении задач статистического разрешения-обнаружения, поскольку в этом случае обеспечивается более адекватная передача амплитудных соотношений в оценке СПМ. Заметим, что факторизация знаменателя передаточной функции АР-оценки СПМ (13.10) в виде произведения двух комплексно-сопряженных полиномов A(z)A^*(1/z^*) позволяет найти устойчивое решение для любого АР-алгоритма, однако для этого требуется дополнительный анализ модулей комплексных корней характеристических полиномов A(z). Свойства этих корней позволяют заключить, что устойчивость решения АР-уравнений не влияет на точность оценивания частоты гармонических компонент в АР-оценках СПМ.

Одно из важных свойств алгоритма ПОЛП, вытекающее из его интерпретации в виде решетчатого фильтра предсказания ошибки, заключается в возможности его использования для выбеливания окрашенных шумов и узкополосных помех, если они адекватно представимы процессами авторегресси. Это свойство используется в системах ПВО с адаптивным формированием пространственных и частотных характеристик. Из этого же свойства вытекает возможность оценки мощности входного шума, которая может использоваться как для компенсации его влияния на алгоритмы обработки с целью улучшения их показателей качества, так и для придания процедуре обнаружения свойств стабилизации вероятности ложных тревог.