1.Проекция әдісі, орталық, параллель және тікбұрышты жобалаудың негізгі анықтамалары мен ұғымдарын жаз. Монж эпюріне сипаттама бер. Сызба геометрияда жиынды бейнелеу үшін үш өлшемді кеңістіктің әрбір нүктесіне екі өлшемді кеңістіктің жазықтықтағы анықталған нүктесі сәйкестендіріледі. Геометриялық бейнелеу элементтеріне: нүктелер, сызықтар, кеңістік беттері жатады. Геометриялық объект нүктелік жиын ретінде бейнеленіп проекциялау заңдылығы бойынша жазықтыққа проекцияланады. Осындай бейнелеудің нәтижесі ретінде объектінің көрінісі алынады.

	Кеңістікте проекциялау центрі болатын (1.1 сурет) және проекциялар жазықтығы ретінде S нүктесі арқылы Пi жазықтығына А нүктесін проекциялау үшін Аiнүктесінде Пi жазықтығымен қиылысатын S проекциялау центрі бойынша SА сәулесін жүргіземіз. Аi.нүктесін А нүктесінің центрлік проекциясы, ал SА сәулесін проекциялаушы сәуле деп атайды.
1.1–Сурет.Орталық проекциялау әдісі

Түсіндірілген сызба кеңістік нүктелерінің жазықтыққа орталық проекциялауы деп аталады. Евклид кеңістігінде орталық проекциялары жоқ нүктелер бар және керісінше П_iжазықтығында кеңістікте түп нұсқалары жоқ нүктелер бар (D және F нүктелері).

Орталық проекциялау геометриялық объектілерді жазықтыққа проекциялаудың жалпы жағдайы болып табылады.

Оның негізгі және өзгермейтін қасиеттеріне мыналар жатады:

1) нүктенің проекциясы – нүкте;

2) түзудің проекциясы – түзу;

3) егер нүкте түзудің бойында жататын болса, онда нүктенің проекциясы түзудің проекциясында жатады.

	Параллель проекциялау орталық проекциялаудың жеке жағдайы болып табылады. Проекциялау центрі шексіз қашықтықта орналасқан, бұл жағдайда проекциялаушы сәулелерді параллель проекциялаушы сәулелер ретінде қарастыруға болады. Жазықтыққа қарағанда проекциялаушы түзудің жағдайы S проекциялаушы бағыттарымен анықталады
1.4.–Сурет.Параллель проекциялау

Параллельді проекциялауда орталық проекциялаудың қасиеттері сақталады және келесілер қосылады:

1. параллель түзулердің проекциялары өзара параллель болады;

2. түзу кесіндінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең;

3. екі параллель түзу кесіндісінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең.

Өз кезегінде параллель проекциялар түзу бұрышты, проекциялаушы түзулер проекциялар жазықтығына перпендикуляр болған жағдайда ортогональды проекциялау параллель проекциялаудың жеке жағдайы болып табылады және осы әдіспен алынған объектінің проекциясы ортогональды деп аталады. Сызба геометриясында проекциялық көріністерге келесі негізгі талаптар қойылады:

1. Қайтымдылық – проекциялық көріністерге байланысты сызбаның түпнұсқасын тұрғызу;

2. Көрініс – сызба заттың формасы туралы кеңістік ұғымын қалыптастыру;

3. Дәлдік – сызбада орындалған графикалық операциялар жеткілікті түрде нақты нәтижесін беруі қажет;

4. Қарапайымдылық – көрініс қарапайым болуы қажет және тізбектелген графикалық операциялар түрінде объектінің бірмәндік сипаттауын беруі қажет.

Монж әдісі

Егер нүкте мен проекция жазықтығының арақашықтығы туралы ақпаратты сандық белгілеу көмегімен емес екінші проекциялар жазықтығында тұрғызылған нүктенің проекциясы арқылы берсе, онда сызба екі көріністі немесе кешенді деп аталады. Осындай сызбаның негізгі принциптерін француз ғалымы Г.Монж келтірген.

	Г.Монждің ұсынған әдісі бойынша кеңістікте екі өзара перпендикуляр орналасқан проекция жазықтықтарын қарастырамыз. Жазықтықтардың біреуін П1деп белгілейміз және горизонталь орналастырамыз, ал екінші П2 жазықтығын вертикальды орналастырамыз. Проекция жазықтықтары кеңістікті төрт екі жақты бұрыштарға - төрт ширекті кеңістіктерге бөледі.
1.6. - Сурет. Екі проекциялар жазықтықтарының кеңістіктік моделі

Проекция жазытықтарының қиылысу түзуі координатлар өсі деп аталады x₁₂ немесе x болып белгіленеді. Көрсетілген проекциялардан тұратын жазық сызба алу үшін П₁ жазықтығын x₁₂ өсімен айналдыру арқылы П₂ жазықтығымен беттестіреміз. Нәтижесінде алынған сызба Монж Эпюрі деп аталады.

2.Нүкте проекциясы.Нүктенің кешенді сызбасын сал.

Нүкте – геометрияның негізгі түсініктерінің бірі. Математикада нүкте деп табиғаттың әртүрлі кеңістіктерінен тұратын элементтерін айтады

нүкте екі проекция жазықтықтарының ортогональды жүйесінде

Проекцияларды тұрғызған кезде төмендегі мәселелерді есте сақтау қажет, жазықтыққа түсірілген нүктенің ортогональды проекциясы берілген нүктеден осы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны деп аталады. 2.1. - Суретте Анүктесі және оның екі А₁жәнеА₂ортогональды проекциялары көрсетілген.

А₁нүктесін Анүктесінің горизонтальды проекциясы, А₂нүктесінфронтальдыпроекциясы деп атайды.Нүкте проекциялары x₁₂осінеперпендикуляртүзуде орналасқан және осы өстіА_xнүктесінде қиып өтеді.

2.1. - Сурет. Нүкте екі проекция жазықтықтарыныңортогональды жүйесінде

Монж эпюрінде А₁жәнеА₂проекциялары x₁₂ өсіне перпендикуляр түзуінде орналасқан.Нүктелердің горизонтальды проекцияларынан оске дейінгі А₁А_x – арақашықтығы Анүктесімен П₂жазықтығына дейінгі қашықтыққа тең. Эпюрде нүкте проекцияларын қосатын түзу сызықтар проекциялар байланысының сызығыдеп аталады.

 НҮКТЕ 3 ПРОЕКЦИЯ ЖАЗЫҚТЫҚТАРЫНЫҢ ОРТОГОНАЛЬДІ ЖЙЕСІНДЕ

П₃ проекциялар жазықтығы П1 және П2 проекциялар жазықтығына перпендикуляр орналасқан және профиль деп аталады.

2.3. - Сурет. Нүкте үш проекция жазықтықтарындағы жүйеде

2,4-Эпюрді салу

Үш өлшемді кеңістікте нүктенің орналасу жағдайын тік бұрышты декарттық координаттар x , y және z көмегімен анықтайды(абсцисса, ордината және аппликата).

Егер нүкте жазықтықтардың біреуінде жататын болса, проекциялар жазықтығына қарағанда нүкте жеке жағдайдағы нүкте деп аталады. Егер нүкте ешқандай жазықтықта жатпайтын болса, онда нүкте жалпы жағдайдағы нүкте деп аталады.

3.Түзу сызықтың проекциясы туралы айтыңыз. Түзудің кешенді сызбасын сал. Түзудің іздері жайлы түсінік және анықтама бер. Түзу сызық геометрияның негізгі түсініктерінің бірі болып табылады. Егер геометрияны тұрғызу негізінде кеңістіктегі екі нүктенің арақашықтық түсінігі қарастырылатын болса, онда түзуді екі нүктенің ең кіші арақашықтығы ретінде қарастыруға болады.

Түзудің жалпы теңдеуі:Ах+Ву+С=0,

А, В және С – кез-келген тұрақтылар.

Проекция жазықтықтарына қатысты түзудің орналасуына байланысты жеке немесе жалпы жағдайларын қарастыруға болады.

1. Проекция жазықтықтарының ешбіріне параллель емес түзу жалпы жағдайдағы түзу деп аталады (3.4. - сурет).

3.4. -Сурет. Жалпы жағдайдағы түзу

2. Проекция жазықтықтарына параллель түзулерді жеке жағдайдағы түзулер ретінде қарастыруға болады және оларды деңгейлік түзулер деп атайды. Берілген түзуді қай жазықтыққа параллель екеніне байланысты ажыратады:

2.1. Горизонтальды проекция жазықтығына параллель түзу горизонталь түзу немесе горизонталь деп аталады (3.5. - сурет). Кез-келген горизонталь нүктелер жұбына мына теңдеу сәйкес келеді:

zA₂B₂//Ox; A₃B₃//Oy Þ x_Ax_B#0,y_Ay_B#0, z_Az_B=0.

3.5. - Сурет. Горизонталь түзу

2.2.Фронталь проекциялар жазықтығына параллель түзулер фронталь деп аталады (3.6. - сурет).

 A₁B₁//Ox, A₃B₃//OzÞ x_Ax_B#0, y_Ay_B=0, z_Az_B#0.

3.6. - Сурет. Фронталь түзу

2.3.Профилді проекция жазықтығына параллель түзу профиль деп аталады (3.7. - сурет).

A₁B₁//Oy, A₂B₂//OzÞ x_Ax_B=0, y_Ay_B#0, z_Az_B#0.

3.7. - Сурет. Профиль түзу

3.Проекция жазықтықтарына перпендикуляр түзулер проекциялаушы түзулер деп аталады.Бір проекциялар жазықтығына перпендикуляр түзу, қалған екеуіне параллель болады. 3.1. Фронталь проекциялаушы -АВ түзуі 3.8. - Сурет

y_Ay_B#0ý

3.8. - Сурет. Фронталь проекциялаушы түзу

3.2.Профиль проекциялаушы АВ түзуі (3.9. - сурет)

x_Аx_B#0

3.9. - Сурет. Профиль проекциялаушы түзу

3.3.Горизонталь проекциялаушы АВ түзуі (3.10. - сурет)

z_Аz_В#0

3.10. -Сурет.Горизонталь проекциялаушы түзу