13.Ауыспалы таңбалы қатарлар. Лейбинц белгісі

(Un>0)

14.Функциялық қатарлар. Дәрежелік қатарлар

Айталық қатардың мүшелері х-тен тәуелді болса, онда ол қатарды функциялық қатар дейді, яғни

Егер функциялық қатар аралығында әрбір х-тің мәнінде жинақты болса онда аралығын қатардың жинақтылау облысы дейді. Функциялық қатарлардың ішіндегі толық зерттелгені және тәжірибелік мәселелерде көп кездесетін дәрежелік қатарлар. Дәрежелік қатар деп төмендегі функциялық қатарды айтады. . Егер болса, онда бұл қатар мына түрге көшеді. .

Егер (3) дәрежелік қатар болғанда жинақталатын қатар, ал болғанда жинақталмайтын қатар болса, онда саны дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады.

Жинақталу радиусын анықтау үшін келесі формулаларды қолданады және .

Мысал. дәрежелік қатардың жинақталу радиусы анықтау керек .

Шешімі : Мұнда , сондықтан . Жинақталу интервалы .

Абель теоремасы.

Теорема. (Абель теоремасы). Егер дәрежелік қатар х – тің х=х₀ м2н3нде жина0талатын 0атар болса онда ол теңсіздігін қанағаттандыратын х – тің барлық мәндерінде абсолютті жинақталады.

Теорема. Егер дәрежелік қатар х=х₀ мәнінде жинақталмайтын болса, онда ол х – тің теңсіздігіе қанағаттандыратын барлық мәндерінде де жинақталмайды.

Анықтама. Егер дәрежелік қатар болғанда жинақталатын қатар, ал болғанда жинақталмайтын қатар болса, онда R саны дәрежелік қатардың жинақталу радиусы деп аталады.

Сонымен қатардың жинақталу облысы

(-R,R) интервалы болып табылады, интервал ұштарында қатардың жинақталу немесе жинақталмауы туралы мәселе x=-R және x=R мәндерін қатарға қойғанда шығатын сәйкес сандық қатарларды зерттеу арқылы шешіледі, егер бұл сан қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда олардың жинақталуы абсолютті де немесе абсолютсіз де болуы мүмкін.

Дәрежелік қатардың қасиеттері:

1. (3) қатар кез келген [-r;r], r<R кесіндіде жинақталады.

2. (3) қатардың S(x) қосындысы (-R;R) жинақталу аралығында үзіліссіз және осы аралықта ақырсыз рет дифференциалданады.

3. (3) қатарды кез келген [α,β] тиісті (-R;R) кесіндіде мүшелеп интегралдауға болады.

4. (3) қатарды жинақталу аралығында мүшелеп дифференциалдауға болады.

15. Тейлор және Маклорен қатарлары.

f(x) функциясы а – R<x<a+R аралығында анықталған және кез келген ретті туындылар бар болсын. Тейлор формуласы бойынша

Мұндағы . ξ =a+θ(x-a), 0<θ<1

Егер n→∞, Rn(x)→0 болса, онда

қатары Тейлор қатары деп аталады. R_n(x) – Тейлор қатарының қалдық мүшесі дейді.

Егер а болса, онда Тейлор қатары Маклорен қатары деп аталады да

түрінде б/ды

Егер функциясы (а – R; a+R) аралығында анықталып, кез келген n үшін <M теңсіздігі орындалса (мұндағы М-оң тұрақты сан),онда осы функция

атары Тейлор қатары деп аталады. R_n(x) – Тейлор қатарының қалдық мүшесі дейді.

Егер а болса, онда Тейлор қатары Маклорен қатары деп аталады да

түрінде б/ды

Егер функциясы (а – R; a+R) аралығында анықталып, кез келген n үшін <M теңсіздігі орындалса (мұндағы М-оң тұрақты сан),онда осы функция

Тейлор қатарына жіктеледі. Кейбір функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі:

(-∞<x<∞)

shx= (-∞<x<∞)

chx=1+ (-∞<x<∞)

sinx= (-∞<x<∞)

cosx= (-∞<x<∞)

Жуықтап есептеулерде функциялардың Маклорен қатарларына жіктелуін пайдалану керек. Ал логарифмді есептеу үшін

Ln(1+x)=lnx+..+2 формуласын пайдаланған тиімді

16. Дәрежелік қатар және олардың қасиеті

Анықталған интегралды аналитикалық шешу үшін Ньютон-Лейбниц формуласын қолданады: мұндағы - функциясының алғашқы функциясы. Бірақ практикада бұл формуланы екі себепке байланысты қолдана алмаймыз:

1) -функциясының алғашқы түрін қарапайым функциялар арқылы сипаттай алмайтындықтан;

2) -функциясының шамасы тек кесте түрінде берілсе.

Бұл жағдайларда интегралды шешу үшін сандық әдістер қолданады. Сандық әдіс бойынша анықталған и нтегралдың мәні осімен, және түзулерімен және функциясының қисығымен шектелген трапецияның ауданына тең.

Трапецияның ауданың есептеу үшін аралығын элементар аралыққа бөлеміз бұл жердегі , . АВСД төртбұрышының ауданы келесі формула бойынша есептеледі:

мұндағы .

2.1 -сурет. Сол интегралдық қосынды

Кез-келген төртбұрыштың ауданы:

мұндағы интегралдау қадамы. Онда сатылы фигураның ауданы:

мұндағы -интегралды қосынды деп аталады.

Бөлу нүктесін көбейтіп және барлық элементтерін нөлге ұмтылдырсақ онда сатылы фигураның жоғарғы шекарасы сызығына ауысады, сондықтан интегралды келесі түрде жазамыз:

.

шеткі мәнге ие болған жағдайда, интегралдық қосындының көмегімен анықталған интегралдың мәнін келесі формула бойынша есептеледі:

мұндағы екінші қосынды әдістің қателігі болып табылады. Ол қадамға байланысты болады.

(2.2) интегралды қосындысы сол қосынды деп аталады. Оң интегралды қосындыны алу үшін абцисса өсімен, , түзулерімен және функциясымен құралатын сатылы фигураны саламыз.

Оң интегралды қосынды бойынша есептеу формуласы:

.

2.2-сурет. Оң интегралдық қосынды

Сонымен қатар оң және сол төртбұрыштар әдістеріне қарағанда дәлірек әдіс болып саналатын орташа мәндер әдісі бар. Бұл әдісте аралықтарындағы орта мән алынады:

. (2.6)

Трапеция әдісінде интегралдық қосындыны элементар трапециялардың аудандарының қосындылары ретінде қарастырамыз (2.3 -сурет):

2.3-сурет. Трапеция әдісінің көрінісі

Y”=x² +y² екінші ретті дифференциалдық теңдеуді жуықтау

Х₀= -1 y(-1)=2 y’(-1)=1/2

Y=f(x)

Y(x)= y(x₀) + y’(x₀)/1! (x-x₀) + y”(x₀)/2! (x-x₀)² +…+ y⁽ⁿ⁾ (x₀)/n! (x-x₀)ⁿ +…

Y= 2 + 1/2 (x+1) + y”(-1)/2! (x+1)² + y’’’(-1)/3! (x+1)³+ y^iv(-1)/4! (x+1)⁴ +…

Y”(-1)= 1+2² = 5

Y’’’= 2x+2y* y’= -2+2*2*1/2 =0

y^iv=2+2(y’)² +2y*y”=2+1/2 +2*2*5= 45/2

Жалпы шешімі:

Y= 2 + (x+2)/2 + 5(x+1)²/2 + 45/48 (x+1)⁴