11.Сандық қатар және оның жинақтылығы. Қатар жинақтылығының қажеттілік белгісі.

Айталық сан тізбегі берілсін. Егер тізбектін мүшелерін«+»белгісімен тіркестіріп жазсақ,онда (1,1)

түріндегі сан қатары деп аталатын өрнекті аламыз. Оны қысқаша былай белгілейді:

сандарын қатардың мүшелері деп,ал кез келген нөмірлі мүшесін қатардың жалпы мүшесі немесе –мүшесі деп атайды. Қатар мүшесінің белгілі нөмері бойынша,бұл мүшені жазу ережесі белгілі болса,онда қатарды берілген дейді.

Қатардың алғашқы мүшелерінің қосындысын қатардың -дербес қосындысы дейді.Оны былай белгілейді:

Ал,қатардың мүшелерінің саны шексіз болғандықтан, оның дербес қосындылары деребес қосындылардың шексіз тізбегін құрайды:

Қатар қосылғыштардың шексіз жиындарынан құрылатын болғандықтан, оларды тізбектей біртіндеп қосу арқылы қатар қосындысын анықтау мүмкін емес. Сондықтан, қатар қосындысының анықтамасын келтірейік. Егер дербес қосындысындағы қосылғыштар санын арттырсақ,онда мынандай үш жағдайдың біріне тірелеміз:

1. Дербес қосынды -нің қосылғыштары санын шектеусіз арттырғанда, ол белгілі бір шекке ұмтылады, яғни болады.Бұл жағдайда, қатарды жиынақты деп,ал санын оның қосындысы деп атайды.Сонымен

2. Дербес қосындыдағы қосылғыштар саны шектеусіз артқанда немесе болады. Бұл жағдайда,қатарды жинақсыз /шашыранды/ дейді.Шашыранды қатардың қосындысы болмайды.

3. Дербес қосындыдағы қосылғыштар саны шектеусіз артқанда, дербес қосынды ешқандай шекке ұмтылмайды.Бұл жағдайдан да қатарды жинақсыз болады дейді және қатардың қосындысы болмайды. Сонымен, тек жинақты қатардың ғана қосындысы болады екен:

Жинақты болудың қажетті шарты.

Теорема. Егер қатары жинақты болса, онда оның жалпы мүшесі нөмірі шектеусіз өскенде нолге ұмтылады, яғни

Дәлелдеу.Айталық қатары жинақты және оның қосындысы болсын. Оның ж\е

дербес қосындыларын қарастырайық.Бұлардан Сондықтан,

Өйткені және . Мұнда -да . Сонымен, екен.

Шынында, егер қатарды жинақты десек, онда алдыңғы теоремаға сәйкес қатардың жалпы мүшесі нолге ұмтылған болар еді. Бірақ, бұл шартқа қайшы. Сондықтан, қатар жинақсыз.

Гармоникалық қатар -   сандық қатары. Гармоникалық қатар әрбір мүшесі (екіншісінен бастап) өзімен көршілес екі мүшенің гармоникалық орта мәні болады. Гармоникалық қатар жинақсыз және оның дербес қосындылары   санындай өседі:

,мұндағы   және С саны Эйлер тұрақтысы деп аталады.   — қатары жалпыланған гармоникалық қатар деп аталады, бұл қатар α>1 болғанда жинақталады және α≤1 болса жинақталмайды.

Мысал. болса да 1 гармоникалық қатардың жинақсыз екенін дәлелдеу керек.

Шешуі. S_2n және S_n дербес қосындыларының айырмасын бағалайық:

S_2n-S_n= .

Яғни p=n болғанда қатар үшін Коши кретерийі орындалмайды,демек қатар жинақсыз.