44. Элементы математической статистики

Математическая статистика оперирует эмпирическими (статистическими, экспериментальными) значениями случайных величин. При этом достаточно знать следующее.

1.Примерное расположение узкого интервала значений величины, в котором находится основная масса вероятностей (частостей), т.е. среднее значение величины, вокруг которого группируются (достаточно тесно) эти значения.

2.Как и на сколько рассеяна масса вероятностей (частость) около центра группирования. Например, после измерения n = 100 штук заготовок с действительными размерами в пределах от 20,00 до 20,35 мм распределение размеров представлено табличными значениями (рис. 44.1, табл. 44).

Таблица 44

Интервал, мм	Частота ki	Частота W =
20,00-20,05	2	0,02
20,05-20,10	11	0,11
20,10-20,15	19	0,19
20,15-20,20	28	0,28
20,20-20,25	22	0,22
20,25-20,30	15	0,15
20,30-20,35	3	0,03
Итого	п =	W = 1

Справа и слева зависимость соответствующей частоты п = и частотей

W = 1, называемая гистограммой распределения. Если последовательно соединить между собой точки, соответствующие середине каждого интервала, то образуется ломаная кривая, которая носит название эмпирической кривой распределения или полигона распределения. Для построения гистограммного распределения рекомендуется результаты измерения разбивать не менее чем на 6 интервалов при общем числе измеренных заготовок не меньше 50 шт. При этом ломаная эмпирическая кривая приближается по форме к плавной кривой, именуемой кривой распределения. W = F^эмп (x) стремится к вероятности F^теор (x) этого события.

За центр группирования принимается «центр тяжести» этих масс (сравните связь с геометрией масс в механике):

_c = ,

т.е а = x_{ср = с} = M (x) =

Из последнего уравнения видно, что при дискретном (эмпирическом) распределении случайной величины математическое ожидание есть абсцисса центра масс системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы - их вероятностям (частостям).

Для эмпирического распределения характеристика положения центра рассеяния приводится в виде средней арифметической взвешенной по частям значений величины .

Как отмечалось выше, при нормальном и других симметричных, одновершинных законах распределения М(х), медиана и мода совпадают. На практике это происходит при отсутствии систематических погрешностей (при проверке настройки станка на среднюю точку поля допуска).

45. Некоторые законы распределения

Закон Симпсона

Рис. 45.1. Графическое изображение закона Симпсона

При обработке с точностью 6, 7 и 8 квалитетов распределение размеров подчиняется закону Симпсона (рис. 45.1). Поле рассеивания ω = 2 ≈ 4,9σ. Среднее квадратическое отклонение

σ =

где x_i- частота (количество заготовок, попадающих в интервал Δх размеров); x_ср = - среднее взвешенное арифметическое значение действительных размеров в партии.

Закон равной вероятности

Если рассеивание размеров зависит от переменных систематических погрешностей (например, от износа инструмента), то распределение их подчиняется закону равной вероятности.

При установившемся износе режущего инструмента распределение размеров вала увеличивается, а отверстия - уменьшается. Если непрерывная случайная величина х принимает все значения интервала А - В с одинаковой плотностью вероятности, то это распределение графически будет выражаться в виде прямоугольника с основанием АВ и высотой f(х) = const (рис. 45.2). Распределение размеров при равномерном износе во времени подчиняется прямолинейному закону (рис. 45.3).

M (x) = ;

σ^{2 =} .

Площадь прямоугольника равна единице. Это означает 100 %-ную вероятность появления размера в интервале от А до В,