43. Числовые характеристики случайных величин

Для практической оценки дифференциальной функции распределения плотностей вероятности разделяют на три группы: точечные, интервальные и характеристики, связанные со всей областью существования функции.

Точечные характеристики отражают значение функции плотностей вероятностей относительно некоторых точек на оси х. К ним относятся: мода, медиана и интенсивность.

Мода - такое значение х (случайной величины), которому соответствует максимум функции плотности. Если f(x₁)= mах, то x₁=M₀(x). Если функция f(x) имеет два максимума, то такой закон называют 2-модальным, три максимума - 3-модальным.

Медиана - Ме(х) = х₁, если Р {х < x₁} = Р {х > x₁} = 0,5.

Если число деталей четное, то медианой считают среднее арифметическое между двумя средними числами.

Пример. Пусть в выборке 6 размеров, мм: 14,90; 14,92; 14,93; 14.95; 14,97; 14,98, расположенных по степени возрастания, тогда

Пример. Пусть в выборке 5 деталей с размерами: 14,93; 14,92; 14,97; 14,92; 14,98. Расположим ряд по степени возрастания: 14,92; 14,92; 14,93; 14,97; 14,98, тогда = х3 = 14,93 .

Интенсивность:

К интервальным относятся следующие характеристики.

1. Вероятность попадания случайной величины в некоторый фиксированный интервал значений Δх = (х_i, х_i+1) :

так как

2. Границы поля рассеяния можно выразить квантилями. Интервальная оценка определяется концами интервала. К характеристикам, охватывающим всю область существования функции, относятся начальный и центральный моменты n-го порядка.

Начальный момент n-го порядка: φ(х) =

Начальный момент 1-го порядка (математическое ожидание) характеризует положение случайной величины на осях: φ₁(x) = М(х) =

Центральный момент п-го порядка: Ψ(x) =

Второй центральный момент: Ψ(x) = D(x) =

D(x) характеризует степень рассеяния случайной величины. Для характеристики рассеяния пользуются средним квадратическим отклонением:

Например, пусть дифференциальная функция нормального распределения задана кривой Гаусса:

y = f(x) = .

Здесь М(х) = a; = σ.

Если z = – нормативная нормальная величина, причем M(z) = 0; σ = 1, то

Кривые f(x — a)u f (х) отличаются смещением без изменения формы в положительном направлении оси х на величину а, т.е. изменение М(х) не изменяет формы кривой Гаусса. Если а > 0, то кривая смещается в положительном направлении оси х; если а < 0 - в обратном направлении

Рис. 43.1. Влияние значений среднеквадрати­че-

ских рассеяния случайной величины σ на

изменения формы кривой рассеяния

При x = a , т.е. при возрастании а максимальное значение функции убывает, а сама кривая становится более пологой (сжимается к оси х) (рис. 43.1).

Характерные точки кривой нормального распределения (рис. 43.2):

1 – { a^-σ ; };

2 – { a^+σ; };

3 – { a; }.

При а = а, δ = 1 у = f(x) имеет нормированный вид.

При любых значениях а и δ

Для эмпирического (дискретного) рассеяния характеристика положения центра рассеяния приводится в виде средней арифметической, взвешенной по частям значений величины.

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. На расстоянии ±3σ За от положения вершины кривой оказывается 99,73 % площади, заключенной между всей кривой нормального распределения, поэтому составляющая 0,27 % практического значения не имеет.

Фактическое поле рассеяния размеров заготовок = 6σ. Под влиянием систематической и случайной погрешностей вершина кривой распределения может смещаться по отношению к середине поля рассеяния в ту или иную сторону, а форма кривой может изменяться.

Закон нормального распределения (закон Гаусса) в большинстве случаев оказывается справедлив при механической обработке заготовок с точностью 8, 9, 10 (и грубее) квалитетов.