Сызықтық корреляция.

Анықтама.Х және У кездейсоқ шамаларының корреляциялық тәуелділігі сызықтық корреляция деп аталады,егер регрессия функциялары f(x) және g(x)-сызықты болса.Бұл жағдайда регрессияның екі сызығы да түзу болады.У-тің Х-ке регрессия түзуінің теңдеуін қорытып,g(y)=Cx+B-сызықты функцияның коэффициентін табайық.M(x)=a, M(y),M[(x-a)²]=

M[(y-b)²]= деп белгілейік.Математикалық күтілме қасиеті бойынша M(y)=M[g(x)]=M(Cx+B)=CM(x)+B, яғни b=Ca+B, B=b-Ca тағы да математикалық күтілменің қасиетін қолдансақ:

M(xy)=M[xg(x)]=M(Cx²+Bx)=CM(x²)+BM(x)=CM(x²)+(b-Ca)a,

дисперсия қасиеті бойынша Алынған коэффициент У-тің Х-ке регрессия коэффициенті деп аталып, (x/y)-түрінде белгіленеді:

(y/x)= (4)

Сонымен,У-тің Х-ке регрессия теңдеуі:

y= (y/x)(x-a)+b (5)

Осы сияқты Х-тің У-ке регрессия теңдеуі:

x= (x/y)(y-b)+a (6)

(x/y)= (7)

Регрессия түзулерінің теңдеуін корреляция коэффициентін пайдаланып жазсақ:

(8)

Бұл түзулердің екеуі де (a;b) нүктесі арқылы өтеді, ал бұрыштық коэффициенті:

болсын, болғанда, түзулер беттеседі,r=0 болғанда регрессия түзулері теңдеулері y=b,x=a. Бұл жағдайда:

(9)

регрессия коэффициентінің таңбасы, корреляция коэффициентімен бірдей және төмендегідей қатыста байланысқандығын көреміз:

Түзу регрессияларды есептеу.

n сынақ жүргізу нәтижесінде(x;y)-шамалар системасының төмендегі мәндері алынған болсын: M(x),M(y),D(x),D(y)-тердің жуық мәндері ретінде олардың таңдамалық мәндері алынсын:

-ді бағалау үшін төмендегі шама алынады:

(3),(4),(5)-қатыстарда шамаларды, олардың таңдамалық мәндері лермен алмастырып, корреляциялық коэффициенті мен регрессия коэффициентінің жуық мәндерін аламыз:

-корреляция мен регрессияның сәйкес таңдамалық коэффициенттері.

(5) және (6)-ға a,b, тердің орнына жуық мәндерін қойып, регрессия түзулерінің таңдамалық теңдеулерін аламыз:

Мысал. n=10 бақылау нәтижелері бойынша У-тің Х-ке регрессия түзуінің таңдамалық теңдеуін табыңыздар:Бақылау нәтижелері, қажетті есептеулер таблицада көрсетілген (c=70 және С’=9.0-жалған ноль)

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80	8,6 8,9 8,9 9,0 9,1 9,2 9,2 9,2 9,3 9,4	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	-0,4 -0,1 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,2 0,2 0,3 0,4	-4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5	20,25 12,25 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25 20,25	-0,48 -0,18 -0,18 0,08 0,02 0,12 0,12 0,12 0,22 0,32	2,16 0,63 0,45 -0,12 -0,01 0,06 0,18 0,30 0,77 1,44
сумма		55	0,8		82,5		5,86

Есептейміз:

Ізделінді түзу теңдеуі: y-9,08=0,071(x-75.5) немесе y=0,071x+3.72

Эксперимент нәтижесінде х шамасының бір мәніне екінші у шамасының көптеген мәндері, яғни у мәндерінің жиыны немесе үлестіруі сәйкес келеді. Оның үстінде х-тің мәні өзгергенде у мәндерінің жиыны да өзгереді. Ал у мәнінің өзі болса х бойынша алынған у-тің орташа мәні төңірегінде топталады. Шамалар арасындағы мұндай тәуелділікті сатистикалық тәуелділік немесе корреляциялық тәуелділік деп атайды.

Сонымен статистикалық тәуелділік туралы сөз еткенде х-тің әрбір мәніне у мәндерінің үлестіруі сәйкес келеді дейміз. Былайша айтқанда х-тің әрбір мәніне осы х-тің өзгеруіне байланысты өзгеріп отыратын ықтималдықтар мәндерінің жиыны сәйкес келеді дейді. Статистикалық тәуелділік дегенде бас жиыннан алынған таңдамадағы байланысты ұғамыз. Ал бас жиындағы шамалар арасындағы тәуелділік стохастикалық (ықтималдықтық) болады. Әрине тандама көлемі жеткілікті үлкен болса, онда белгілі шарттар орындалғанда статистикалық тәуелділік стохастикалық тәуелділікті сипаттай алады.

Шамалар арасындағы тәуелділік туралы сөз еткенде оның тығыздығы мен түрі қандай болатынын анықтау қажет болады. Тәуелділіктің тығыздығы корреляциялық коэффициент және корреляциялық қатынаспен сипатталады. Ал тәуелділіктің түрі болса графикпен, регрессия теңдеуімен регрессия коэффициентімен анықталынады.