Сенімділік. Сенімділік интервалы.

-бағаланатын параметр,ал оның бағасы -x_1,x_2,….x_n-дерден құрылған болады.Егер -баға ығыспаған және қисынды екені белгілі болса,онда оның мәнін таңдамалық берілгені бойынша есептейді және -ның шын мәніне жуықталған деп есептейді.Бұл жағдайда орташа квадрат ауытқу қателік ретін бағалайды.Мұндай бағалар дәл деп аталады.

Қалыпты үйлестірген кездейсоқ шамалар және а параметрімен бағалауды қарастырайық.

Айталық, > 0 қандай да бір сан болсын.Егер теңсіздігі орындалса, түрінде жазып көрсетуге болса] интервалы параметрді қамтиды деп айтады.Алайда,{ оқиғасы болатындай бағасын көрсету мүмкін емес, сонымен осы оқиғаның ықтималдығымен қарастырамыз, саны бағасының дәлдігі деп аталады.

Анықтама: Алдын ала берілген >0 саны үшін,] интервалдың параметрді қамту ықтималдығы , параметрінің бағасының сенімділігі деп аталады.

Таңдаманың белгіленгені бойынша баға есептелінгеннен кейін, интервал -ны қамтуына қарай оқиғаның болғанын, не болмайтынын анықтауға болады.

Егер көлемі n көп таңдама жасап,олардың әрқайсысы үшін интервал құрсақ,интервалы -ны жабатын таңдамалардың бөлігі -ға тең болады.

Анықтама: Таңдамалық берілгені бойынша табылған және берілген сенімділікпен параметрді жабатын интервал сенімділік интервалы деп аталады.( сенімділікті әдетте 0,95,0,99 немесе 0,999-ға олардың 95%-і үшін ( ) есептелген сенімділік тең деп есептелді)

Анықтама-2: белгілі болғанда математикалық күтім үшін сенімділік интервалы.Көп жағдайда орташа квадрат ауытқу,яғни өлшеулер қателіктері белгілі болады.Мысалы,өлшеу бір құралған бірдей жағдайда жүргізілгенде барлық өлшеулер үшін белгілі болады.

Айталық, х кездейсоқ шамасы а және параметрлерін қалыпты үлестіріп және белгілі болады.Белгісіз а параметрді сенімділікпен қамтитын, сенімділік интервалды құрайық.Берілген таңдамалықтар х_1,х_2,........,х_n кездейсоқ шамалардың таралуы болып табылады. Таңдамалық орта кездейсоқ шамасы да қалыпты үйлестірген болады. Сондықтан қатынас орындалуын талап етейік. формула бойынша немесе мұндағы (1) P - берілген және -ға болады. .Осы қатынастың мағынасы мынадай: сенімділік интервалын белгілейміз а параметрді сенімділікпен қамтиды деп есептеуге болады,бағалау дәлдігі t саны теңдігімен анықталады.

Мысал: Бас жиынтықта Х-белгі қалыпты үлестірген белгілі.Таңдамалық берілгені бойынша а үшін j=0,99 сенімділік n сенімділікпен n интервалын табу керек.N=20,

Шешуі: сәйкесті * сенімділік интервалының ұштары.6,34-0,23=6,11, 6,37+0,23=6,57.Сенімділік интервалы ]6,11;6,57[- a параметрді 0,99 сенімділікпен қамтиды.

- белгісіз болғанда математикалық күтілме үшін сенімділік интервалы.

Х-кездейсоқ шамасы а және параметрлері қалыпты үлестірілген болады.Т-кездейсоқ шамасының мүмкін мәндерін t деп белгілейік.а және -ға тәуелсіз үлестіруді белгілейік. Осы үлестіруді-стьюдент үлестіруі деп атайды. n таңдама көлемі, - таңдамалық орта, жөнделген квадраттық ауытқу.Стьюдент үлестіруінің ықтималдық тығыздығы ;В_n коэффициенті таңдама көлеміне тәуелді қатынасы орындалған деп талап қояйық.S(t,n)-t мен n-нен тәуелді жұп болғандықтан,

формуласы бойынша, .Сонымен,төмендегі қорытынды жасауымызға болады: сенімділік интервалы а параметрін j сенімділікпен қамтиды. Бағалау дәлдігі .

Мұнда, кездейсоқ шамалар және S кездейсоқ емес n–нің әртүрлі мәндері үшін –нің мәндері таблицасында келтірілген. болғанда стьюдент үлестіруінің нормалданған қалыпты үлестіруден ешқандай айырмашылығы болмайды. Себебі, .

Мысал: Бос жиынтықта х–белгі қалыпты үлестірілген үшін j=0,99 сенімділігімен сенімділік интервалын табу керек. n=20, және n=20 үшін сәйкесті . Сонымен сенімділік интервалы –ын 0,99 сенімділікпен қамтиды.

Орта мән және дисперсия

Белгілі бір түрлер таңдамасында қандай да бір белгі мысалы бойдың өсуі өлшенсін. Таңдамадағы осы белгінің таралуы жөнінде барлық мағлұматты екі шамаға келтіруге болады: орта мән және дисперсияға. Орта мән негізгі ағын «тенденция» өлшемі, ал дисперсия – үлестіру ұзындығының өлшемі.

Орта мән не арифметикалық орта мына формуламен есептеледі , мұндағы -орта, -таңдамадағы барлық түрлер белгісі мәндерінің қосындысы, N-түрлер саны. Дисперсия белгінің жеке мәндері мен орта мән айырымы квадратының қосындыларын таңдамадағы түрлер санын бірге азайтып бөлгенге шығатын сан. , -дисперсия, х-жеке мәндер.

Дисперсияны төмендегідей формуламен де есептеу қолайлы бұл жоғарыдағы формуламен тең күштес.

Дисперсиядан алынатын квадрат түбір, орташа квадраттық ауытқу немесе стандарттық ауытқу деп аталды, былайша белгіленеді:

12-тақырып(2 сағат).

Сенімділік интервалы және баға дәлдігі. s -белгілі және белгісіз болған жағдайда МК үшін сенімділік интервалын құру.

Эмперикалық және топтастырылған жиіліктер. Бақылау нәтижелері бойынша қалыпты сызықты салу.

Төмендегі тұжырымды қолданамыз. сенімділік интервалы белгісіз параметрді, j үмітпен қамтиды, бағалау дәлдігі n-нің әртүрлі мәндері мен сенімділіктің j берілген мәні үшін q=q(j;n)-дың мәні таблица арқылы берілген.

Мысал-1:Х белгі қалыпты үлестірген. Егер n=20,S=0,40, үшін j=0,95 сенімділік интервалын тудыру керек.

Шешуі:Берілген бойынша g=0,37 S_q=0,40*0,37 0,15 0,40-0,15=0,25 және 0,40+0,15=0,55;]0,25;0,55[

Мысал-2:Фермадағы жас төлдердің салмағының ауытқуынына витаминдердің әсері зерттелген.Осы мақсатта 20 төл алынып, оларды орташа салмағы 340 кг, ал “жөнделген” орташа квадрат ауытқу-20 кг екені белгілі.

Анықтау керек:1)a-математикалық күтілме үшін 0,95 сенімділік интервалын құру.

1) Орташа квадрат ауытқу үшін осы үмітпен сенім интервалын құру.

Шешуі:1) . Стьюдент үлестіруін қолданып сәйкесті, 340-9,4=349,4 ]330,6;349,4[ сенімділік интервалы а-ны 0,95 үмітпен қамтиды “Шын салмақ ” дәл есептелді деуге болады.

2) j=0,95, n=20 үшін =0,37, S_q=20*0,37=7,4; 20-7,4=12,6; 20+7,4=27,4; 12,6< <27,4 бұл жерде қанағаттанарлықсыз анықталады.