Математикалық статистика пәні және маңызы. Бас және таңдамалық жиынтық қайталанатын, қайталанбайтын таңдамалар.

Математикалық статистиканың элементтерін орта мектепте оқыту математикасына енгізіліп отыр. Осыған орай, бұл пәнді оқыту кезінде материалдарды таңдау және оқыту әдістемесіне байланысты автордың баяндауынан алшақтауы мүмкін. Бірақ жаңа пәннің баяндалуы мен жаңа терминдердің сақталатынын ескертеміз. Жалпы «статистика» сөзі латынның «статус» (status) деген сөзінен шыққан, қазақшаға аударғанда «заттың күйі» және «жағдайы» дегенді білдіреді.

1. Қазіргі таңда статистика жалпылық құбылысты сандық тұрғыдан сипаттайтын кешенді ғылыми бағыт. Мысал ретінде, өндірістік, финанстық, халықтың орналасуы т.б. статистикалар.

2. Статистика практикалық тұрғыдан статистикалық мәліметтерді жинап, оны талдаумен айналысады. Мысал ретінде, мемлекеттік статистика.

3. Статистика белгілі бір құбылыстың немесе процестің жиынтығы, мысал ретінде Қазақстан Республикасындағы адамдардың өсуі мен өлуі; оқушылардың үлгірімі, т.б.

4. Статистика бақылаудың нәтижесіне байланысты кез келген функция математикалық статистиканың бақылаудан алынған жеткілікті түрдегі мәліметтерге байланысты құбылыстың жалпылық заңдылығын зерттейді.

Ықтималдықтар теориясында берілген үлкен сандар заңына сүйенген математикалық статистиканың зерттеу әдісі-таңдама әдісі. Оның мағынасы: белгілі бір жиынның элементтеріне байланысты белгіні зерттеу үшін таңдама жасалынады. Таңдама арқылы алынған элементтер санын таңдаманың көлемі деп атайды. Ал жиынды бас жиын дейді. Таңдама зерттеуші адамның субъективті тұрғысынан алғанда, біржақты таңдама және таңдама белгіні толық сипаттайтындай репрезентативті таңдама болады. Әдетте, бас жиынның элементтері аз болса, онда біржақты таңдама деп, ал өте көп болса, онда репрезентативті таңдама (белгіні толық сипаттайтындай, көлеміндегі кездейсоқ таңдама жасалынады) деп аталады.

Нақты бақылаудың нәтижесіне байланысты, құбылыстың жалпылық, сандық мәндерін, статистикалық мәліметтері болады.

Математикалық статистиканың ықтималдықтар теориясынан ерекшелігі: ықтималдықтар теориясы комплекс шарттарға байланысты, кездейсоқ оқиғаның (құбылыстың) заңдылығын қараса, ал математикалық статистикада кездейсоқ емес (детерминированные) оқиғалардың заңдылықтарын қарайды. Сонымен қатар, математикалық статистиканың зерттеу әдістерінің бәрі-ықтималдықтар теориясының заңдарына сүйеніп, қойылған мәселені шешеді.

Бақылау (сынау) арқылы статистикалық мәліметтерді алайық. Алынған мәліметтерді қарапайым статистикалық мәлімет немесе француз математигі дэ Мане бойынша варианта деп атайық. Вариантаға енетін мәндер санын вариантаның көлемі (таңдаманың көлемі) дейді.

Алынған вариантада әртүрлі немесе кейбіреулері қайталануы мүмкін. Мысалы, 3,4,5,1,1,2,3,4,5,6,7 ( ) статистикалық мәліметтерді үдемелі түрде жазамыз: 1,1,2,3,3,4,4,5,6,7. Мұны вариациялық қатар дейміз. Осы қатарды ыңғайлы жазу үшін үдемелі түрде әртүрлі мәндерді 1-ші жолға, 2-ші жолға сәйкесті мәндердің санын жазамыз:

1 2 3 4 5 6 7

2 1 2 2 1 1 1

Статистикалық мәліметтің соңғы түрде жазылуын қатардың статистикалық үлестіруі деп атайды, -ді вариантаның -мәнінің жиілігі дейді. Сонымен қатар, салыстырмалы жиілік былайша анықталады:

мұндағы ,

Қатардың статистикалық үлестіруі бақылау (сынау) нәтижесіне байланысты аз (дискретті), не өте көп (үздіксіз) болуы мүмкін. Үздіксіз болған жағдайда қатардың барлық мәндерінің орналасуының аралығын дербес интервалдың қатарларына бөлеміз. Әдетте, аралықты орналасу құлашы деп атаймыз.

Статистикалық мәліметтерге байланысты жиілік, не салыстырмалы жиілікке байланысты кестелерге сүйеніп, графиктерін салуға болады. Дискретті мәндерге сәйкесті алынған графикті полигон деп, ал үздіксіз мәндерге байланысты сәйкесті графикті гистограмма деп атаймыз.

Классикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды есептеу А оқиғасының пайда болуына қолайлы, злементер оқиғалар саны m-ды және барлық элементер оқиғалар саны n-ды табуға келіп тіреледі. Ықтималдықтар теориясында m мен n мәндері, ілгеріде көрсетілгендей оп-оңай анықтала бермейді. Бұларды табу үшін қайсыбір жиын элементтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді. Шешуі: «нешеу», «неше тәсілмен» деген сұрауларға жауап беруді қажет ететін есептер комбинаторлық есептер делінеді. Бұл комбинаторика деп аталады. Комбинаториканы пайдаланып оқиға ықтималдығын анықтау таңдаманы жиыннан алу тәсіліне байланысты.

Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары:

1. Орналастырулар. Алфавит N әріптен тұрса, онда әрқайсысы үш әріптен тұратын комбинациялар саны N(N-1)(N-2) болар еді. Ал енді үш әріп орнына әрқайсысы k әріптен тұратын комбинациялар құрса, олар N(N-1)(N-2) ... (N-(k-1)) тәсілімен табылады. Бұл өрнек N элементтен әрқайсысы k-дан жасалған орналастырулар саны делінеді.

Өрнектің оң жағын -ға көбейтіп және бөліп, мынаны аламыз:

.

2. Алмастырулар. N элементтен N-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп атайды. Алмастырулардың бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана, өйткені әрбір алмастырудағы элементтердің саны бірдей. Алдыңғы формуладан k=N десек, .

3. Терулер. N элементтен әрқайсысы k –дан алынған орналастыруларды бір-бірінен айырмашылығы не элементтерінде, не элементтерінің орналасу ретінде болатын комбинациялар деп қарастырдық. Орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын дербес түрін алмастырулар дедік. Сондай-ақ айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулардың дербес түрі теру деп аталады.

болады.

.

Өрнектің оң жағын -ға көбейтіп және бөліп, мынаны аламыз:

.

Терудің негізгі екі қасиеттерін келтірейік.

1-қасиет.

2-қасиет.

Қайталанатын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары:

1. Қайталамалы орналастырулар. Элементтер жиынынан орналастырулар жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра енбейтін еді, ондай оранластырулар қайталаньайтын орналастырулар болды. Біз енді қайталамалы орналастыруларды, яғни жиыннан алынған элемент сол жиынға қайыра енетін жағдайды қарастырамыз.

Элементтері қайталанып келетін N элементтен k-дан алынған орналастырулар

формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастыру немесе қайталамалы таңдама формулалары деп атайды.

2. Қайталамала алмастырулар. Жоғарыда қарастырған алмастыруда элементтердің барлығы да әртүрлі еді. Бірақ алмастырулар жасалатын N элементің кейбіреуі қайталанып отыруы мүмкін. Мұндай алмастыруларды қайталамалы алмастырулар деп атайды.

М жиыны элементтерінен құралсын. Мұнда элементі рет, ал элементі рет және тағы сол сияқты. элементі рет қайталанатын болсын . Сонда N элементен берілген дан алынған алмастырулар саны мына формуламен анықталады:

.

3. Қайталамалы терулер. Сатып алынған 5 кәмпитте 1-ші нөмірлі болуы, немесе төртеуі 1-ші нөмірлі, біреуі 3-ші нөмірлі болуы, т.с.с., яғни жеке нөмірлі кәмпиттер таңдамаға қайталанып еніп отыруы мүмкін. Мұндай комбинацияны қайталамалы теру деп айтамыз.

.

Бұл қайталамалы теру формуласы болады.

10-тақырып(1 сағат).