Үлкен сандар заңы. Чебышев теңсіздігін теоремаларды дәлелдеуге қолдану. Бернулли теоремасы. Муавр-Лапластың интегралдық теоремасының үлкен сандар заңымен байланысы. Үлкен сандар заңдары

Үлкен сандар заңдары деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына қатысты теоремаларды айтады.

Чебышев леммасы

Егер кезкелген шаманың шекті диаперсиясы болса, онда кезкелген оң үшін мына теңдік орындалады.

Чебышев теоремасы

Айталық қос-қостан тәуелсіз шамалардың тізбегі берілсін. . Тұнда математикалық күтілмесі және дисперсиялары С шамасымен нектелген . Онда кезкелген және үшін мынадай теңдік орындалады.

(1)

Салдар.

Егер Чебышев теоремасының шартында қосымша барлық үшін болса, онда Чебышев теоремасы қарапайым түрге ие болады.

Бернулли теоремасы

Егер әрбір тәжірибені жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және рет тәжірибе жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу саны - кездейсоқ шамасы болса, онда кезкелген саны үшін

Пуассон теоремасы

Егер де бір-біріне тәуелсіз рет тәжірибе жүргізсе -сыншы тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы - тең және пайда болу жиілігі болса, онда кезкелген саны үшін мына теңдік орындалады.

Орталық шектік теоремалар

Өте көп санды кезкелегн шамалардың қосындысының үлестірілім функциясы қалыпты үлестірілім заңына ұмтылу туралы тұжырымдалған теоремаларды орталық шектік теорема деп атайды.

Шектік теореманы қарастыру үшін шамалар үшін белгілеулер енгіземіз.

Математкалық күтілмесіне сәйкесті қосындыларын төмендегіше белгілейміз.

сәйкесті дисперсияларды былай белгілейміз.

белгілеу енгізіп болғаннан кейін теңдеу құрамыз.

.

Үлестірім заңын қолдансақ:

кездейсоқ шаманың үлестірім заңдылығы төмендегідей болады:

Анықтама.

Егер шектік қатынас орындалса, онда оралық шектік заңға бағынады деп атайды.

Ықтималдықтар теориясындағы Муавр-Лапластың интегралдық шектік теоремасы орталық шектік теореманың алғашқы көрінісі болып табылады. Орталық шектік теоремасын зерттеу мәселесі XIX ғасырдың оратсында басталып қазіргі күнге дейін жалғасып келеді. Бұл салада еңбек еткен матеамтиктер қатарына С.Н.Бернштейн, А.Н. Колмагоров, Б.В.Гнеденко, тағы басқадарды айтуға болады. Орталық шектңк теоремасын 1900 жылы орыстың көрнекті математигі А.М,Ляпунов дәлелдеді. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың 3-ші ретті абсолютті орталық моменттері болған жағдайда Ляпунов төмендегі шарттарды қойды.

(1)

Ляпунов теоремасы.

Егер өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың 3-ші ретті абсолютті орталық моменттері бар болса және (1) шарт орындалса, онда , бойынша үлестірілімі интегралдық ыункциясының бірқалыптыға жуық болады.

Бұл теореманы дәлелдеу үшін жоғарыда қосындысының мінездеушісі -ке жинақты десек жеткілікті. Жалпы бұл тінездеуші түрінде анықталады.

(2)

Мұндағы -кездейсоқ шаманың матемматикалық күтілмесі болғандықтан, ол болады. Ал дисперсиясы -на тең болады. Осыған байланысты тағы да мінездеуші түріндегі өрнекті алып, оны моменттерді қолдану арқылы қатарға жіктеуімізге болады.

Осыған байланысты бастапқы берілген кездейсоқ шаманың мінездеушісі

(3)

кездейсоқ шамалар өзара тәуелсіз болғандықтан (2)-ні басшылыққа ала отырып, (3)-тің неі жағын логарифмдеп,

1-ші шарт бойынша -да төменгі қатынас мәні 0-ге ұмтылады.

Олай болса, немесе .

9-тақырып(1 сағат).