2. Метод минимального элемента

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен c₃₄=1. Для этого элемента запасы равны 40, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.

x₃₄ = min(40,30) = 30.

Таблица 13 – Опорный план 1

	В1			В2			В3			В4			В5
А1	7						30						3			u1=0
		3			6			5			2			0
А2	23			17												u2=0
		3			4			8			8			0
А3				10						30						u3=-1
		4			3			6			1			0
	v1=3			v2=4			v3=5			v4=2			v5=0

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7.

Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 7*3+30*5+3*0+23*3+17*4+10*3+30*1=368

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁= 0.

u₁ + v₁ = 3; 0 + v₁ = 3; v₁ = 3

u₂ + v₁ = 3; 3 + u₂ = 3; u₂ = 0

u₂ + v₂ = 4; 0 + v₂ = 4; v₂ = 4

u₃ + v₂ = 3; 4 + u₃ = 3; u₃ = -1

u₃ + v₄ = 1; -1 + v₄ = 1; v₄ = 2

u₁ + v₃ = 5; 0 + v₃ = 5; v₃ = 5

u₁ + v₅ = 0; 0 + v₅ = 0; v₅ = 0

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_j ≤ c_ij.

Задача имеет не единственное решение, т.к. среди оценок свободных ячеек присутствуют оценки равные нулю.