Аналитическая геометрия

1. Векторы и операции над ними. Определение вектора. Линейные операции над векторами, их основные свойства, аналитическое и геометрическое представления. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Свойства. Аналитическое задание. Практическое применение.

2. Системы координат на плоскости и в пространстве. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат. Основные задачи. Преобразования аффинной и прямоугольной декартовой систем координат на плоскости. Полярная система координат, ее связь с декартовой прямоугольной системой координат.

3. Линии и их уравнения на плоскости. Различные уравнения прямой: векторное уравнение прямой; уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором; двумя точками; точкой и угловым коэффициентом; в отрезках. Общее уравнение прямой и его исследование. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Исследование свойств по каноническим уравнениям.

4. Плоскость и прямая в пространстве. Различные уравнения плоскости: векторное уравнение плоскости; уравнение плоскости, заданной точкой и двумя направляющими векторами; тремя точками. Общее уравнение плоскости и его исследование. Взаимное расположение 2-х и 3-х плоскостей. Прямая в пространстве: различные способы задания; взаимное расположение прямых; взаимное расположение прямой и плоскости.

5. Поверхности второго порядка. Определения поверхностей. Канонические уравнения. Схематические изображения. Исследование методом сечений (на примере одной из поверхностей).

Дискретная математика, математическая логика и их приложения в информатике и компьютерных науках

1. Множества и отношения. Множества и способы их задания. Подмножества. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера. Разбиения и покрытия множеств. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения и способы их задания. Свойства бинарных отношений. Отношения эквивалентности и порядка. Понятие отображения. Сюръективные, инъективные и биективные отображения. Эквивалентные множества мощность множества. Счетные и несчетные множества.

2. Элементы комбинаторики. Основные правила комбинаторики. Теория перечислений. Основные комбинаторные соединения. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Разбиения множеств. Полиномиальные коэффициенты. Формула включений и исключений. Рекуррентная последовательность и рекуррентные соотношения. Метод рекуррентных соотношений.

3. Основы теории графов. Основные понятия и определения теории графов. Графы и бинарные отношения. Графы и их типы. Операции над графами. Матричное задание графов: матрицы смежности и инциденций. Маршруты, цепи, циклы. Связность, компоненты связности графа. Эйлеровы циклы и графы. Гамильтоновы циклы и графы. Упорядоченные и бинарные деревья. Расстояние в графах.

4. Формулы алгебры высказываний. Понятие высказывания. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Таблицы истинности. Понятие формулы алгебры высказываний. Виды формул: выполнимые, тождественно истинные, тождественно ложные. Логическая равносильность формул. Основные равносильности алгебры высказываний. Закон двойственности.

5. Нормальные формы. Нормальные формы формулы алгебры высказываний (конъюнктивная и дизъюнктивная). Совершенные нормальные формы. Получение совершенных форм с помощью таблиц истинности и с помощью равносильных преобразований. Критерии тождественной истинности и тождественной ложности формулы.

6. Булевы функции. Понятие булевой функции. Равные функции. Суперпозиция функций. Нормальные формы булевых функций. Принцип двойственности для булевых функций. Самодвойственные функции. Системы булевых функций. Полная система. Определения монотонной и линейной булевых функций. Специальные классы булевых функций. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций. Понятие базиса, примеры.

7. Исчисление высказываний как формальная аксиоматическая теория. Алфавит исчисления высказываний (ИВ). Определение формулы, подформулы ИВ. Система аксиом ИВ. Основные и производные правила вывода. Определение вывода. Понятие доказуемой формулы. Определение вывода из совокупности формул. Свойства выводимости. Правила выводимости. Теорема дедукции. Связь алгебры высказываний с исчислением высказываний. Разрешимость, непротиворечивость и полнота ИВ. Независимость системы аксиом ИВ.

8. Логика предикатов. Понятие предиката. Логические операции над предикатами. Кванторы и кванторные операции. Формулы логики предикатов. Равносильные формулы логики предикатов. Общезначимость и выполнимость формул логики предикатов. Предваренная нормальная форма.