Фундаментальная и компьютерная алгебра

1. Системы линейных уравнений над полем. Основные понятия теории решения систем линейных уравнений. Приведение систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Критерий совместности и определённости систем линейных уравнений в терминах ранга матриц. Подпространство решений однородной системы, его размерность, базис и общее решение. Многообразие решений неоднородных систем линейных уравнений.

2. Определитель квадратной матрицы n-го порядка. Определение определителя квадратной матрицы n-го порядка, его основные свойства. Критерий равенства определителя нулю. Формула разложения определителя матрицы по строке (столбцу). Применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений.

3. Матрицы над полем. Операции над матрицами, их свойства. Теорема о ранге произведения двух матриц. Кольцо квадратных матриц. Определитель произведения квадратных матриц. Обратимые матрицы. Условие существования и способы нахождения обратных матриц.

4. Основные алгебраические структуры. Бинарные алгебраические операции, их основные свойства. Алгебра как множество с алгебраическими операциями. Определение и примеры групп. Циклические группы, их подгруппы. Изоморфизм циклических групп одинакового порядка. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа и её следствия. Определение и примеры колец. Кольцо целых чисел. Кольцо классов вычетов. Определение и примеры полей. Поле рациональных и поле действительных чисел. Поле классов вычетов по простому модулю. Характеристика поля.

5. Поле комплексных чисел. Построение поля комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи и действия над комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая форма записи и действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел. Мультипликативная группа корней n-ой степени из единицы.

6. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов. Корни многочленов. Основная теорема алгебры многочленов и её следствия. Неприводимые многочлены над полями C и R.

7. Линейные пространства над полем. Определение и примеры линейных пространств. Арифметическое линейное пространство. Линейная зависимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм линейных пространств одинаковой конечной размерности. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств.

8. Линейные отображения векторных пространств. Определение и примеры линейных отображений. Их задание матрицами. Образ и ядро линейного отображения. Размерность ядра и образа. Условие существования обратного отображения.

9. Линейные операторы векторного пространства. Определение и примеры линейных операторов векторного пространства. Матрица оператора в различных базисах. Пространство линейных операторов. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Алгоритм вычисления собственных значений и собственных векторов. Необходимое и достаточное условия диагонализируемости матрицы. Жорданова нормальная форма.

10. Евклидовы и унитарные пространства. Скалярное произведение векторов в L(R) и L(C). Евклидовы и унитарные пространства. Геометрия евклидовых и унитарных пространств. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение.

11. Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств. Сопряженный оператор и его матрица. Нормальные операторы. Симметрические и эрмитовы операторы, канонический базис для них. Ортогональные и унитарные линейные операторы, канонический базис для них.

12. Билинейные и квадратичные формы. Билинейные и квадратичные формы на линейных пространствах и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции для квадратичных форм. Положительно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Квадратичные формы на евклидовых пространствах и их приведение к главным осям.