Структура государственного экзамена

Государственный экзамен направлен на проверку профессиональных теоретических знаний и умений в области математики и компьютерных наук. Государственный экзамен включает ключевые и практически значимые вопросы по общепрофессиональным и профильным дисциплинам направления подготовки ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­02.03.01 Математика и компьютерные науки (профиль «Вычислительная математика, информатика и компьютерные технологии»):

• Математический анализ

• Фундаментальная и компьютерная алгебра

• Аналитическая геометрия

• Дискретная математика, математическая логика и их приложения в информатике и компьютерных науках

• Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных)

• Теория функций комплексного переменного

• Дифференциальная геометрия и топология

• Теория вероятностей

• Функциональный анализ в вычислительной математике

• Вариационное исчисление и методы оптимизации

• Теория чисел

• Нейросетевые технологии обработки информации

• Основы кодирования данных

• Математические методы в системах защиты информации.

Экзаменационные билеты государственного экзамена содержат теоретические вопросы, целостно отражающие объём проверяемых знаний и умений по базовым математическим дисциплинам, формирующим комплекс необходимых компетенций в области математики и компьютерных наук.

Продолжительность подготовки к ответу – не более 30 минут.

Продолжительность опроса – 30 минут.

Форма проведения экзамена – устная.

Содержание государственного экзамена

Содержание экзамена имеет междисциплинарный характер и включает общепрофессиональные и профильные дисциплины: математический анализ; фундаментальная и компьютерная алгебра; аналитическая геометрия; дискретная математика, математическая логика и их приложения в информатике и компьютерных науках; дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных); теория функций комплексного переменного; дифференциальная геометрия и топология; теория вероятностей; функциональный анализ в вычислительной математике; вариационное исчисление и методы оптимизации; теория чисел; нейросетевые технологии обработки информации; основы кодирования данных; математические методы в системах защиты информации.

Математический анализ

1. Критерий Коши для сходимости последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности (формулировка). Определение фундаментальной последовательности (последовательности Коши). Доказательство критерия Коши для сходимости последовательности.

2. Замечательные пределы. Вывод второго замечательного предела. Перечислить известные замечательные пределы: первый замечательный предел и следствия из него, замечательные пределы, связанные с показательной и логарифмической функцией. Вывести второй замечательный предел.

3. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной. Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Ролля (формулировка). Геометрический смысл теоремы Ролля. Теорема Лагранжа – формула конечных приращений (с доказательством). Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Следствия из теоремы Лагранжа. Теорема Коши – обобщенная формула конечных приращений (формулировка).

4. Определение определенного интеграла по Риману. Геометрический смысл определенного интеграла. Ограниченность интегрируемой функции. Понятия разбиения отрезка, измельчения разбиения отрезка, диаметра разбиения. Построение интегральной суммы. Определение предела интегральных сумм. Определение функции, интегрируемой по Риману. Геометрический смысл определенного интеграла по Риману. Доказательство того, что интегрируемая по Риману функция должна быть ограничена. Пример ограниченной, но не интегрируемой по Риману функции (функция Дирихле).

5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла по верхнему пределу. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Определение интеграла с переменным верхним пределом. Доказательство непрерывности интеграла по верхнему пределу. Доказательство дифференцируемости интеграла по верхнему пределу. Основная теорема интегрального исчисления – формула Ньютона-Лейбница.

6. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Определение функции нескольких переменных. Понятие дифференцируемой функции нескольких переменных. Понятие частной производной. Доказательство теоремы о достаточных условиях дифференцируемости функции нескольких переменных.

7. Признаки сходимости положительных рядов. Доказательство интегрального признака Коши. Понятия числового ряда, частичной суммы ряда, суммы ряда, сходимости и расходимости. Формулировка признаков сравнения, признака Даламбера, радикального признака Коши. Доказательство интегрального признака Коши.

8. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Понятия знакопеременного ряда, абсолютной и условной сходимости. Определение знакочередующегося ряда. Доказательство признака сходимости Лейбница.