Этапы решения задач линейного программирования графическим методом

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые могут получиться.

1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 3а)).

2. Неосновной случай - получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 3.б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение . Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.

Рис. 3 a) Рис. 3 б)

Наконец, возможен случай, когда неравенства противоречат друг другу, и допустимая область вообще пуста.

Рассмотрим теорию на конкретном примере:

Найти допустимую область задачи линейного программирования, определяемую ограничениями

Рис. 5

Обратите внимание на то, что оптимальный план, как правило, соответствует какой-то вершине многоугольника, изображающего допустимую область. И лишь в том случае, когда прямая может случиться так, что решение не будет единственным. Но и в этом случае вершины, соответствующие границам этой стороны, дают оптимальные планы нашей задачи линейного программирования. Таким образом, вершины допустимой области играют в решении задач линейного программирования особую роль. Целевая функция 1Х1+2Х2 стремится к МАХ

2. Решение задач линейного программирования в ms excel

Возможность решения обеспечивает надстройка ПОИСК РЕШЕНИЯ.

Рассмотрим использование возможностей программы на предыдущем примере

Используем формулы:

Запускаем ПОИСК РЕШЕНИЯ

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Рассмотрим задачу:

Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимым для производства любого из трех видов производимых товаров 1, 2, 3. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товаров; прибыль, получаемая от реализации единицы товара, а также запасы ресурсов указаны в таблице.

Вид ресурса	Затраты ресурса на единицу товара			Запас ресурса
	Товар 1	Товар 2	Товар 3
Сырье, кг.	4	8	4	120
Рабочая сила, ч.	6	2	3	160
Оборудование, станко-час.	2	2	4	400
Прибыль	10	8	6

Составить план выпуска товаров, чтобы прибыль была максимальной

Обозначим количества выпускаемого товара:

Товар 1 как х1, Товар 2 – х2, Товар 3 – х3.

Постановка задачи:

Целевая функция:

МАХ Z=10х1+8х2+6х3

Ограничения

4x1 + 8x2 + 4x3 ≤ 120

6x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 160

2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 400

Решим задачу симплекс методом.

Математическая модель должна быть в канонической форме, т.е. все ограничения в виде неравенств.

Введем новые переменные x4, x5, x6.

4x1 + 8x2 + 4x3 + x4 =120

6x1 + 2x2 + 3x3 + x5 = 160

2x1 + 2x2 + 4x3 +x6 ≤=400

Решим задачу линейного программирования симплекс методом.

Находим исходные опорные решения и проверяем на оптимальность, для этого заполняем симплексную таблицу.