Свойства дисперсии

1. если каждое значение признака уменьшить на какое-либо число, то дисперсия от этого не изменится:

2. если каждое значение признака уменьшить или увеличить в К раз, то дисперсия изменится в К раз:

3. дисперсия, исчисленная от средней величины, всегда меньше дисперсии, исчисленной от любой произвольной величины:

4. коэффициент вариации:

2. Виды дисперсий

Вариацию признака под действием основного фактора характеризует межгрупповая дисперсия (σ).

Вариацию признаков от всех прогнозируемых факторов внутри отдельной группы определяет внутригрупповая дисперсия ( ).

Вариацию от случайных факторов по совокупности в целом характеризует среднее из внутригрупповых дисперсий ( ).

Изменение значений признака под влиянием как основных, так и случайных факторов характеризует общая дисперсия ( ).

Общая дисперсия может рассчитываться по формулам:

а) для несгруппированных данных:

(3.1)

где: – среднее значение признака по совокупности в целом;

n – численность совокупности.

б) для сгруппированных данных:

(3.1а)

Межгрупповая дисперсия:

(3.2)

Внутригрупповая дисперсия:

(3.3)

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле среднеарифметической:

, (3.4)

Правило сложения дисперсий.

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

, (3.5)

Пример расчета дисперсий

Таблица 3.2 - Распределение рабочих по среднечасовой выработке изделий

IV разряд			V разряд
Выработка рабочего, х			Выработка рабочего, шт./ед.
7	–3	9	14	–1	1
9	–1	1	14	–1	1
9	–1	1	15	0	0
10	0	0	17	2	4
12	2	4
13	3	9
∑ = 60		∑ = 24	∑ = 60		∑ = 6

Для результативного признака исчислить:

1) групповые дисперсии;

2) среднюю из внутригрупповых дисперсий;

3) межгрупповую дисперсию;

4) общую дисперсию;

5) проверить правило сложения дисперсий.

Выработка – результативный признак.

Разряд – факторный.

Решение:

Определим среднюю выработку для рабочих IV и V разрядов:

2. Исчислим внутригрупповые дисперсии по формуле (4.3):

3. Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий по формуле (4.4):

Вывод: Выработка по совокупности в целом в зависимости от всех случайных факторов варьируется дисперсией равной 3.

4. Межгрупповая дисперсия определяется по формуле (4.2):

5. Общая дисперсия:

а) по формуле (4.1):

Проверяем правило сложения дисперсий по формуле (4.5):

6 + 3 = 9

Степень тесноты связи между факторным и результативным признаками характеризует эмпирическое корреляционное отношение:

По шкале Чэддока определяют степень тесноты связи.

Шкала Чэддока

Чэ	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
А	1	2	3	4	5
Вид связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	весьма тесная

Пример решения задачи:

Имеются следующие данные по трем группам рабочих с разным стажем работы:

Стаж работы, лет	Число рабочих,	Средняя зарплата, руб.	Среднее квадратичное отклонение зарплаты, руб.
До 3	10	500	12
3 – 10	15	600	10
Более 10	25	700	20

Рассчитать: среднюю заработанную плату для всей совокупности рабочих, общую дисперсию, эмпирическое корреляционное отношение.

Решение:

Общая средняя:

Общая дисперсия находится по правилу сложения дисперсий:

Находим среднюю из групповых дисперсий:

Межгрупповая дисперсия:

Эмпирическое корреляционное отклонение:

Это значит, что 97,9 % различий в средней заработной плате обусловлена стажем работы и 2,1 % – влиянием других факторов.