2.9 Использование вынужденных переходов для усиления электромагнитного поля

То обстоятельство, что вынужденное излучение возбужден­ных микрочастиц при переходах с верхнего энергетического уров­ня на нижний когерентно (совпадает по частоте, фазе, поляриза­ции и направлению распространения) с вынуждающим, наталкивает на мысль о возможности использования вынужден­ных переходов для усиления электромаг­нитного поля. Чтобы оценить возмож­ность такого усиления, рассмотрим обмен энергии между полем и веществом [22]. Бу­дем предполагать, что вещество имеет два энергетических уровня Е₁ и Е₂ с населенностями N₁ и N₂, а частота внешнего поля равна частоте квантового перехода ₂₁. При объемной плотности энергии П_ число вынужденных переходов в единицу времени в единице объема с выделением энергии n₂₁ = BП_ N₂, а выделяемая при этих переходах энергия в единице объема в еди­ницу времени, т.е. мощность

P_выд = n₂₁h₂₁ = BП_ N₂ h₂₁. (2.53)

Аналогично число вынужденных переходов с поглощением энергии и поглощаемая от внешнего поля мощность в единице объема соответственно

n₁₂= BП_ N₁; (2.54)

Р_погл= BП_ N₁ h₂₁. (2.55)

Изменение мощности электромагнит­ного поля

Р = Р_выд-Р_погл=B h₂₁(N₂- N₁). (2.56)

Назовем эту величину мощностью взаимодействия.

Если Р > 0, т.е. выделяемая мощность превышает поглощае­мую, то в системе происходит увеличение энергии поля или усиле­ние электромагнитного поля. При Р < 0 преобладает поглощение энергии и энергия внешнего поля убывает.

Таким образом, условием усиления (Р > 0) будет N₂- N₁ > 0 или N₂/ N₁ > 1.

В состоянии термодинамического равновесия населенность верхнего уровня меньше, чем нижнего (N_2Б < N_1Б ) в соответствии с законом Больцмана. Поэтому вещество в этом состоянии поглощает энергию внешнего поля (Р < 0), так как число квантовых переходов n₁₂ снизу вверх (1  2) с поглощением энергии больше числа квантовых переходов сверху вниз (2  1) n₁₂ с выделением энергии.

Соотношение N₂ > N₁ является обратным (инверсным) по от­ношению к состоянию термодинамического равновесия, когда N_2Б < N_1Б. Поэтому состояние, при котором N₂ > N₁ , т.е. возможно усиле­ние, называют состоянием с инверсией населенностей уровней.

Закон Больцмана, справедливый для термодинамического рав­новесия, можно записать так

. (2.57)

Величину Т_п называют температурой перехода. Формально при состоянии с инверсией населенностей эта температура отрица­тельна (Т_п < 0).

Среда, в которой имеется состояние с инверсией населенностей, называется также активной средой, так как в ней возможно усиление электромагнитного поля.

В состоянии термодинамического равновесия N_1Б > N_2Б, поэто­му при воздействии электромагнитного поля число вынужденных переходов снизу вверх (1  2) больше числа вынужденных перехо­дов сверху вниз (2  1): населенность нижнего уровня убывает, а верхнего – растет. При достаточно большой объемной плотности энергии поля П_ может произойти выравнивание населенностей уровней (N₁ и N₂), когда числа вынужденных переходов 1  2 и 2  1 равны, т.е. наступает динамическое равновесие. Явление вырав­нивания населенностей уровней называют насыщением перехода. Таким образом, при воздействии электромагнитного поля на двух­уровневую систему можно добиться насыщения перехода, но не инверсии населенностей.

Населенности уровней при любом значении объемной плотно­сти энергии поля находятся из решения скоростных (кинетичес­ких) уравнений. Для двухуровневой системы скорости изменения населенностей уровней

dN₁/dt = -N₁BП_ - N₁E₁₂ + N₂BП_ + N₂A₂₁ + N₂E₂₁ ;

dN₂/dt = N₁BП_ + N₁E₁₂ - N₂BП_ - N₂A₂₁ - N₂E₂₁ ;

N₁ + N₂ = N, (2.58)

где N – полное число частиц.

Поясним процедуру составления уравнений. Населенность уровня 1 в единицу времени убывает вследствие вынужденных переходов 1  2 на величину N₁BП_, а из-за безызлучательных переходов 1  2 – на величину N₁E₁₂. Одновременно происходит рост населенности N₁ вследствие переходов 2  1 на величину N₂BП_ (вынужденные переходы), N₁A₂₁ (спонтанные переходы) и N₂E₂₁ (безызлучательные переходы). Первые два слагае­мых учитывают увеличение N₂ в результате вынужденных и безызлучательных переходов 1  2, а остальные определяют убывание N₂ вследствие вынужден­ных, спонтанных и безызлучательных переходов 2  1.

Очевидно, что для двухуровневой системы при сохранении полного числа частиц dN₁/dt = - dN₂/dt.

В стационарном состоянии dN₁/dt = dN₂/dt = 0, поэтому можно написать систему двух уравнений

N₁(BП_ + E₁₂) - N₂(BП_ + A₂₁ + Е₂₁) = 0;

N₁ + N₂ = N. (2.59)

Решая эту систему уравнений, можно найти стационарные величины N₁и N₂, а затем их отношение:

, (2.60)

, (2.61)

, (2.62)

, (2.63)

. (2.64)

Рассмотрим зависимости N₁ и N₂ от объемной плот­ности энергии П_ для случая, когда система до воздействия электро­магнитного поля находилась в термодинамическом равновесии с населенностями N_1Б и N_2Б, определяемыми законом Больцмана. При малых значениях П_ на­селенность нижнего уровня N₁ убывает, а верхнего N₂ растет по ли­нейному закону. При очень больших значениях плотности энергии (П_  ) N₁ и N₂ стремятся к среднему значению N/2 = (N_1Б + N_2Б)/2, соответствующему насыщению переходов.

При от­сутствии поля (П_ = 0) населенности уровней равны N₁⁰ и N₂⁰ причем N₂⁰ > N₁⁰. С ростом П_ N₂ убывает, а N₁ растет от значений N₂⁰ и N₁⁰ по линейному закону, но при больших П_ асимптотически они приближаются к среднему зна­чению N/2 = (N₁⁰ + N₂⁰)/2, соответствующему насыщению перехода.

Разность населенностей уровней (N₂ - N_1­­­) определяет мощность взаимодействия Р.

. (2.65)

Эта формула позволяет найти зависимость мощности взаимодей­ствия от объемной плотности энергии П_ электромагнитного поля, взаимодействующего с веществом. Зависимость P(П_) определяется отношением П_ / (1 + ₁₂П_). При увеличении П_ мощность сначала (когда ₁₂П_ << 1) ли­нейно растет, а затем стремится к предельному значению Р_пред, кoторое определяется путем раскрытия неопределенности при П_   т.е. в состоянии насыщения перехода

Р_пред = 0,5h₂₁N[E₂₁ - (A₂₁ + E₂₁)]. (2.66)

Учитывая, что обычно вероятность релаксационных переходов много больше вероятности спонтанных, вы­ражению (2.65) можно придать бо­лее простой и наглядный вид

, (2.67)

где _рел - время релаксации.

В состоянии насыщения при П_   (N₁ = N₂), когда мощ­ность, выделяемая при вынужденных переходах 2  1, равна мощ­ности, поглощаемой при вынужденных переходах 1  2, от элект­ромагнитного поля отбирается мощность Р_пред. Эта мощность не­обходима для поддержания равенства населенностей уровней, ко­торое постоянно стремится нарушаться из-за наличия спонтанных и безызлучательных переходов с вероятностями A₂₁, Е₂₁ и Е₁₂. Чи­сло этих переходов непосредственно от плотности энергии не за­висит и определяется только населенностью уровней. Получаемая от электромагнитного поля энергия рассеивается в веществе, на­пример в кристаллической решетке, в виде теплоты.