Глава 3. Параметрические колебания двухзвенного маятника, находящегося под действием следящей силы

3.1 Уравнения движения двухзвенного маятника

Двухзвенный маятник при различных видах непотенциального нагружения довольно часто рассматривается исследователями. Впервые задача об устойчивости такой системы при действии постоянной во времени следящей силы была поставлена швейцарским ученым Циглером в 1952 году. На примере двухзвенного маятника было обнаружено и объяснено дестабилизирующее влияние трения, обнаружены такие особенности потери устойчивости как вторичный флаттер и вторичная дивергенция. Ряд работ посвящены стабилизации указанной системы под действием следящей силы посредством параметрического возбуждения. В данной главе на примере двухзвенного маятника, находящегося под действием периодической следящей силы проводится исследование устойчивости при изменении параметров воздействия, за критическое поведение, отыскание условий параметрической стабилизации.

Рассмотрим плоские колебания двухзвенного маятника, находящегося под действием следящей силы , направленной вдоль оси второго звена при любых отклонениях маятника (рисунок 3.1). Звенья маятника соединены между собой и с основанием при помощи вязкоупругих элементов. За обобщенные координаты примем углы отклонения звеньев маятника от вертикального положения . Значения соответствуют положению равновесия, при котором вязкоупругие элементы ненагружены.

Рисунок 3.1 Двухзвенный маятник под действием следящей силы

Кинетическая энергия маятника при больших отклонениях от положения равновесия определяется выражением

(3.1)

Здесь массы стержней, приведенные к их концам, длины звеньев, точкой обозначена производная по времени . Потенциальную энергию упругих связей запишем в виде

, (3.2)

где жесткости упругих связей в первом и втором шарнирах.

Виртуальная работа следящей силы при отклонениях звеньев маятника запишется как

. (3.3)

Рассеяние энергии в системе учтем введением диссипативной функцией Релея

, (3.4)

где коэффициенты вязкого трения соответственно в первом и втором шарнирах.

Уравнения движения системы получим с использованием уравнений Лагранжа второго рода

. (3.5)

Подставляя в (3.5) выражения (3.1)  (3.4) и введя вектор угловых перемещений , получим матричную форму уравнений движения

, (3.6)

где введены обозначения

, ,

(3.7)

, , .

В уравнении (3.6) принято и введены следующие безразмерные параметры

Под понимается вектор . В дальнейшем у безразмерного времени волну опустим и будем считать, что нагрузки, действующие на систему, изменяются по гармоническому закону: с амплитудными значениями и частотой , отнесенной к параметру