1.3 Метод матриц монодромии для построения границ областей параметрического резонанса.

Существует ряд методов, позволяющих с той или иной точностью определить границы областей параметрического резонанса: метод малого параметра, метод определителей Хилла и др. Главное положение, которое закладывается в основу этих методов, это существование на границах областей неустойчивости периодических решений периодических решений и/или переход характеристического показателя в правую полуплоскость. Эти методы связаны с проведением аналитических вычислений достаточно большого объема.

Весьма эффективным численным методом, ориентированным на применение компьютеров, является метод матриц монодромии (метод матриц перехода). Основан этот метод непосредственно на теории ФлокеЛяпунова и состоит в вычислении матрицы монодромии и исследование мультипликаторов как собственных значений этой матрицы . На первом этапе метода строится матрица . Для этого раз решается задача Коши с начальными условиями, совпадающими со столбцами единичной матрицы размерностью . Матрица монодромии определяется как значение матрицанта в конце первого периода . На втором этапе определяются мультипликаторы как собственные значения матрицы и проверяется условие .

Все вычисления по определению границ областей неустойчивости для параметрических систем проведены с использованием этого метода.

1.4. Пример построения областей неустойчивости

С целью верификации алгоритмов и программ, применяемых в дальнейших вычислениях в данном разделе проводятся вычисления областей параметрического резонанса для классических систем с одной и двумя степенями свободы, рассмотренных в справочнике. Параметрические колебания системы с одной степенью свободы относительно обобщенной координаты описываются уравнением

, (1.8)

где коэффициент демпфирования, собственная частота системы, коэффициент параметрического возбуждения, характеризующий его амплитуду, периодическая функция возбуждения. При из уравнения (1.8) получим уравнение Матье – Хилла

. (1.9)

При гармоническом параметрическом возбуждении уравнение (1.9) называется уравнение Матье

. (1.10)

Здесь частота параметрического возбуждения. В учебной литературе часто распределение областей неустойчивости (диаграмма Айнса – Стретта) представляется на плоскости параметров . В справочнике области неустойчивости для уравнения (1.8) построены на плоскости с использованием аналитических методов ещё в 50–х годах прошлого столетия, что не могло не отразится на точности положения границ. Построим границы областей неустойчивости для этого же уравнения на плоскости с использованием метода матриц монодромии. Как уже отмечалось, применение этого метода связано с интегрированием уравнения движения в течение одного периода с начальными условиями, соответствующими столбцам единичной матрицы. Интегрирование уравнения проведем с использованием системы имитационного моделирования Simulink. Для уравнения (1.8) блок-схема имитационного моделирования представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 Блок-схема имитационного моделирования для исследования параметрических колебаний системы с одной степенью свободы.

По существу Simulink, как одна из компонент вычислительной системы Matlab, представляет собой цифровой аналог, но с несомненно более широкими возможностями, систем электронного моделирования, применявшихся для исследования различных динамических (в том числе и механических) систем в 50 – 60 г.г. прошлого столетия. Отсылая за подробностями к описанию системы Simulink и литературе, опишем кратко работу представленной на рисунке 1.1 схемы. Двукратное интегрирование уравнения (1.8), переписанного в виде

, (1.11)

реализуется с помощью двух интеграторов. Правая часть уравнения (1.11) формируется в сумматоре. После первого интегрирования первая производная умножается на удвоенный коэффициент демпфирования и подается в сумматор. После второго интегрирования обобщенная координата умножается на отдельно сформированное параметрическое воздействие (нижняя часть диаграммы) и также подается в сумматор. Здесь принято . Обобщенная координата и обобщенная скорость подаются на «экран» и в рабочую область для дальнейшей обработки.

Интегрирование уравнение с использованием имитационного моделирования проводилось как для формирования матрицы монодромии, так и для непосредственной проверки устойчивости решения путем интегрирования с некоторыми начальными условиями на продолжительном отрезке времени. В области устойчивости имеем затухающее решение, а в областях параметрического резонанса решение при любых сколь угодно малых начальных условиях неограниченно возрастают. На границе указанных областей согласно теории Флоке имеют место периодические решения.

Рисунок 1.2 Области параметрического резонанса для системы с одной степенью свободы при

Рисунок 1.3 Области параметрического резонанса для системы с одной степенью свободы при

На рисунке 1.2 представлены границы области параметрического резонанса для уравнения (1.8) на плоскости для случая, когда собственная частота равна , а коэффициент демпфирования  . Рисунок 1.3 иллюстрирует области параметрического резонанса для . Кроме весьма малых значений частоты возбуждения на рисунках четко просматривается структура областей неустойчивости, включая главный и побочные параметрические резонансы.