МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАУЧНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Кафедра динамики и прочности машин

им. В.В.Болотина

Диссертация по теме

Параметрические колебания в неконсервативных системах

Студент гр. С-06-10

Р. В. Яковлев

Научный руководитель:

профессор В.П. Радин

Москва-2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………..….….………..…3

ЦЕЛЬ РАБОТЫ……………………………………………..……...……….….7

Глава 1.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ.……..………………..………………………………………………....…...8

1.1.Устойчивость периодических движений……………….………......8 1.2.Теория Флоке-Ляпунова………………………………..….….....…..9

1.3.Метод матриц монодромии для построения границ областей неустойчивости…………………………….……………………....…….....…....….11

1.4.Пример построения областей неустойчивости……...………..........13

Глава 2.

НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ….....18

2.1.Уравнения движения и имитационная модель……………........…18

2.2.Построение областей неустойчивости…………………...….......…25

Глава 3. Параметрические колебания двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил…………...…34

3.1 Уравнения движения двухзвенного маятника…………………….34

3.2 Построение областей неустойчивости и параметрического резонанса………….…………………..……………………….…….……....………37

ЛИТЕРАТУРА……………………………………….……………..…...….…40

ВВЕДЕНИЕ

Среди различных видов механических колебаний отдельное место занимают параметрические колебания, как колебания, вызванные и поддерживаемые параметрическим возбуждением. В свою очередь параметрическое возбуждение колебаний механической системы определяется изменением во времени одного или нескольких её параметров (массы, момента инерции, коэффициента жесткости и др.). Термины параметрически возбуждаемые колебания или просто параметрические были предложены А.А. Андроновым и М.А. Леонтовичем. Параметрические колебания описываются дифференциальными уравнениями с переменными (обычно периодическими) коэффициентами. В отличие от вынужденных колебаний параметрические колебания поддерживаются внешними силами косвенно  через изменения параметров системы. Простейшим классическим примером в механике являются параметрические колебания маятника, возбуждаемые путем периодического перемещения точки подвеса в направлении силы тяжести. Для упругих систем распространенными являются задачи о колебаниях прямолинейного стержня, на который действует периодическая продольная сила. Круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной нагрузкой, периодически меняющейся во времени, при определенных соотношениях частот может испытывать интенсивные изгибные колебания. Продольные силы, действующие в срединной плоскости пластины, могут вызывать поперечные колебания. Периодические силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее наибольшей жесткости, при определенных условиях вызывают изгибно-крутильные колебания из этой плоскости и т.д.

Для всех этих задач общим является то, что причиной колебаний является периодическое изменение внешних сил такого вида, что, будучи приложены статически, они могут вызвать статическую потерю устойчивости равновесия упругой системы. Такие силы называются параметрическими. Периодическое изменение параметрических сил вызывает периодическое изменение жесткости системы по отношению к другим силам. Параметрические колебания встречаются также при изучении динамики валов, роторов и более сложных механизмов. Так, вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости, при вращении может испытывать интенсивные поперечные колебания даже в том случае, если он полностью уравновешен и если его ось параллельна ускорению сил тяжести. Непосредственной причиной возбуждения колебаний в этом случае является периодическое изменение жесткости вала во времени относительно неподвижных осей. Примером системы, в которой периодически изменяется некоторая приведенная масса, служит шатунно-кривошипный механизм.

Впервые параметрические колебания жидкости в сосуде наблюдались Фарадеем в 1831 г., а параметрические колебания струны исследовались в 1859 г. Мельде, последние были теоретически объяснены Стреттом (1883г.). В 1924 г. Н.М. Беляевым были рассмотрены изгибные колебания прямого стержня, нагруженного периодической продольной силой. Далее большой вклад в разработку методов исследования параметрических колебаний внесли А.А. Андронов и М.А. Леонтович, Н.Е. Кочин, Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов, В.А. Боднер, В.Н. Чаломей и др. Основополагающий характер в области развития методов исследования параметрических колебаний имеют работы В.В. Болотина, обобщенные и систематизированные в монографии.

Среди задач о параметрических колебаниях механических систем наибольший интерес представляют задачи, связанные с исследованием устойчивости положений равновесия или установившихся периодических движений. Для линейных систем при периодических параметрических воздействиях основная задача состоит в отыскании областей неустойчивости на плоскости или в пространстве параметров и установлении условий наступления параметрических резонансов. В качестве таких параметров обычно принимаются амплитуда и частота параметрического воздействия. Внутри областей неустойчивости линейных параметрических систем установившиеся периодические движения отсутствуют. При этом добавление линейных диссипативных сил сужает и смещает области неустойчивости, не налагая ограничений на амплитуды колебаний внутри этих областей. В этом состоит одно из отличий параметрических колебаний от установившихся вынужденных колебаний, где добавление диссипативных сил приводит к конечным амплитудам при резонансных отношениях частот. Ограниченные амплитуды в областях параметрического резонанса имеют место для нелинейных систем.

Исследованиям устойчивости линейных и нелинейных параметрических систем посвящена обширная литература. Менее изученными до настоящего времени пока остаются вопросы параметрических колебаний в системах, находящихся под действием сочетания потенциальных и неконсервативных сил. Кроме перечисленных выше задач здесь возникают вопросы о параметрической стабилизации статической и динамической неустойчивости системы. На возможность стабилизации посредством параметрического возбуждения систем, находящихся под действием постоянных позиционных неконсервативных сил, указывалось в справочнике.

Развитие методов и алгоритмов вычислительной математики и создание мощной вычислительной техники открывает новые возможности при рассмотрении сложных задач параметрических колебаний, представляющих большой интерес в связи с развитием объектов новой техники. Данная работа посвящена разработке алгоритмов и программ для численного исследования параметрических колебаний в системах при периодических изменениях потенциальных и неконсервативных позиционных сил. В первой главе дается краткий обзор методов исследования устойчивости решений уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь же методом матриц монодромии, который используется во всей работе, с целью верификации алгоритмов и программ проводится построение границ областей неустойчивости для уравнений с периодическими коэффициентами, вошедшими в основное справочное издание по теории колебаний. В третьей главе исследуется устойчивость двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов и программ для исследования параметрических колебаний в различных механических системах при наличии неконсервативных сил. В качестве вычислительной системы и языка программирования предлагается использование системы Matlab и ее компоненты, реализующей цифровое имитационное моделирование Simulink. Необходимо было рассмотреть параметрические колебания таких систем, как двухзвенный маятник и консольный стержень при действии переменных по величине потенциальных и следящих сил, исследовать влияние сил внутреннего трения на параметрические колебания вращающегося вала, а также проанализировать динамическое поведение участка гибкого трубопровода при протекании по нему жидкости с переменной скоростью. Для всех перечисленных систем нужно было построить границы областей неустойчивости и провести многопараметрический анализ. Для двухзвенного маятника и вращающегося вала изучить динамическое поведение в областях параметрического резонанса. С целью верификации разработанных алгоритмов и программ, а также некоторых уточнений провести пересчет ряда графиков из справочника.