МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАУЧНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Кафедра динамики и прочности машин

им. В.В.Болотина

Курсовой проект №2

по дисциплине «Динамика машин»

Параметрические колебания в неконсервативных системах

Студент гр. С-06-09

А.Л.Кураков

Руководитель:

профессор В.П. Радин

Москва-2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………..….….………..…3

ЦЕЛЬ РАБОТЫ……………………………………………..……...……….….5

Глава 1.

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА. СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.……..………………..…....…...6

1.1.Устойчивость периодических движений……………….………......6 1.2.Теория Флоке-Ляпунова………………………………..….….....…..7

1.3.Метод матриц монодромии для построения границ областей неустойчивости…………………………….……………………....…….....…....….10

1.4.Построение модели имитационного моделирования………..........11

Глава 2.

НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ….....16

2.1.Уравнения движения и имитационная модель……………........…16

2.2.Построение областей неустойчивости…………………...….......…23

Глава 3. Параметрические колебания двухзвенного маятника, находящегося под действием потенциальной и следящей сил………...…32

3.1 Уравнения движения двухзвенного маятника…………………….32

3.2 Построение областей неустойчивости и параметрического резонанса………….…………………..……………………….…….……....………36

ВЫВОД…………………………………………………………………………46

ЛИТЕРАТУРА……………………………………….……………..…...….…47

ВВЕДЕНИЕ

Среди различных видов механических колебаний отдельное место занимают параметрические колебания, как колебания, вызванные и поддерживаемые параметрическим возбуждением. В свою очередь параметрическое возбуждение колебаний механической системы определяется изменением во времени одного или нескольких её параметров (массы, момента инерции, коэффициента жесткости и др.). Термины параметрические возбуждаемые колебания или просто параметрические были предложены А.А. Андроновым и М.А. Леонтовичем. Параметрические колебания описываются дифференциальными уравнениями с переменными (обычно периодическими) коэффициентами. В отличие от вынужденных колебаний параметрические колебания поддерживаются внешними силами косвенно  через изменения параметров системы. Простейшим классическим примером в механике являются параметрические колебания маятника, возбуждаемые путем периодического перемещения точки подвеса в направлении силы тяжести. Для упругих систем распространенными являются задачи о колебаниях прямолинейного стержня, на который действует периодическая продольная сила. Круговое кольцо, нагруженное равномерно распределенной нагрузкой, периодически меняющейся во времени, при определенных соотношениях частот может испытывать интенсивные изгибные колебания. Продольные силы, действующие в срединной плоскости пластины, могут вызывать поперечные колебания. Периодические силы, действующие на балку узкого поперечного сечения в плоскости ее наибольшей жесткости, при определенных условиях вызывают изгибно-крутильные колебания из этой плоскости и т.д.

Для всех этих задач общим является то, что причиной колебаний является периодическое изменение внешних сил такого вида, что, будучи приложены статически, они могут вызвать статическую потерю устойчивости равновесия упругой системы. Такие силы называются параметрическими. Периодическое изменение параметрических сил вызывает периодическое изменение жесткости системы по отношению к другим силам. Параметрические колебания встречаются также при изучении динамики валов, роторов и более сложных механизмов. Так, вал, сечение которого имеет неодинаковые главные жесткости, при вращении может испытывать интенсивные поперечные колебания даже в том случае, если он полностью уравновешен и если его ось параллельна ускорению сил тяжести. Непосредственной причиной возбуждения колебаний в этом случае является периодическое изменение жесткости вала во времени относительно неподвижных осей. Примером системы, в которой периодически изменяется некоторая приведенная масса, служит шатунно-кривошипный механизм.

В работе проводится построение границ областей параметрического резонанса с использованием метода имитационного моделирования Simulink вычислительной системы Matlab.

Цель работы

Целью данной работы является разработка алгоритмов и программ для исследования параметрических колебаний в различных механических системах при наличии неконсервативных сил. В качестве вычислительной системы и языка программирования предлагается использование системы Matlab и ее компоненты, реализующей цифровое имитационное моделирование Simulink. Необходимо было рассмотреть параметрические колебания таких систем, как двухзвенный маятник и консольный стержень при действии переменных по величине потенциальных и следящих сил. Для системы нужно было построить границы областей неустойчивости и провести многопараметрический анализ. Для двухзвенного маятника изучить динамическое поведение в областях параметрического резонанса.