8.2 Методы расчета размерных цепей

Существует несколько методов решения прямой и обратной задачи в условиях полной и неполной взаимозаменяемости.

Наиболее распространенные из них:

- метод расчета на максимум - минимум (обеспечивает полную взаимозаменяемость);

- теоретико - вероятностный метод (обеспечивает неполную или частичную взаимозаменяемость);

- метод групповой взаимозаменяемости;

- метод одинаковой точности;

- метод равных допусков;

- метод регулирования;

- метод пригонки и др.

Попробуем рассмотреть некоторые из них на примере расчета размерной цепи подшипникового узла (рис. 8.5):

Метод расчета на максимум - минимум (обратная задача) состоит в следующем:

Известны: A_i ; E_SA_i ; E_iА_i ; TA_i

Определить: A_Δ; E_SA_Δ; E_iA_Δ; TA_Δ.

1. Составляется схема размерной цепи, определяется m - общее число звеньев цепи (рис. 8.6):

2. Определяется характер звеньев:

А_ - замыкающее звено,

А_ - увеличивающее звено,

А_, А_, А_ - уменьшающие звенья.

при этом -

n - число увеличивающих звеньев,

p - число уменьшающих звеньев, а

m – общее число звеньев, включая замыкающее,

тогда n+p =m1.

3. Составляется уравнение номинальных размеров:

А_=А_  (А_А_А_) - для частного случая, а в общем случае

А_= А_{i ув}  A_{i ум}

4. Определяется допуск замыкающего звена, для чего составляем уравнение допусков:

_ = _{ max}  _{ min}

А_{ max} = А_{i ув max}  A_{i ум. min} (8.1)

А_{ min} = А_{i ув min}  A_{i ум. max} (8.2)

поскольку разность между предельными размерами звеньев есть их допуск, получим:

А_ = А_{i ув.} +  A_{i ум.}

а т.к. сумма увеличивающих и уменьшающих звеньев равна n  p = m , то

А_ = Т А_i , (8.3)

т.е допуск замыкающего или исходного звена равен сумме допусков составляющих звеньев.

5. Находятся предельные размеры замыкающего звена, т.е. определяются его верхнее и нижнее отклонения:

Согласно формуле (8.1)

А_{ max} = А_{i ув. max}  A_{i ум. min}, в то же время

_{ max} = _  E_S A_

тогда E_S A_ = E_S A_{i ув.}  E_i _{i ум.}

согласно формуле (8.2)

А_{ min} = А_{i ув. min}  A_{i ум. max .}

или А_{ min =} А_ +E_i A_

E_i А_ = _i A_{i ув.}  _S A_{i ум.}

таким образом, находятся предельные размеры замыкающего или исходного звена.

Согласно формуле (8.3) допуск замыкающего звена равен сумме допусков всех составляющих звеньев.

Чтобы эта погрешность была минимальной, необходимо стремиться при проектировании и изготовлении деталей к минимальному числу звеньев цепи, т.е. должен соблюдаться принцип кратчайшей цепи.

При решении прямой задачи размерного анализа можно воспользоваться методом равных допусков, которой удобно применять, если составляющие размеры цепи входят в один размерный интервал, или, в крайнем случае, в соседние.

Метод основан на предположении, что допуски всех составляющих звеньев равны.

ТА₁ = ТА₂ = ... = ТA_m-1 = Т_ср А_i , или согласно (8.3) имеем

ТА_ = T А_i, или ТА_Δ = ТА₁ + ТА₂ + …+ Т_ср А_i

В связи с тем, что все допуски равны, можно эту же формулу представить в виде:

ТА_=m_ср _i ,

Тогда допуск любого звена размерной цепи можно определить как:

T_ср _i = TA_m1

Найденный допуск желательно скорректировать до ближайших стандартных полей допусков.

Этот способ назначения полей допусков составляющих звеньев достаточно прост, но не совсем точен, поэтому его обычно применяют для предварительного назначения допусков.

Эту же задачу можно решить и другим методом - методом одинаковой точности (метод допусков одного квалитета точности), т.е. условно принимаем, что все составляющие звенья цепи выполнены с допуском по одинаковому квалитету точности:

Из предыдущих разделов мы уже знаем, что ТA = k i

где i - единица допуска, зависящая от номинального размера

k - число единиц допуска, зависящая от квалитета точности и выражается формулой i = 0,45 +0,001D

Используя формулу (8.6), получаем:

ТА_= k₁ i₁ k₂i₂  k₃i₃  ... k_m-1i_m-1

а, т.к. квалитеты точности у всех звеньев приняты одинаковыми, то

k₁ = k₂ = k₃ = ... = k_m1 = k_ср

тогда ТA_ = k_ср. i_i

отсюда k_ср =TA_  i_i

В предыдущих разделах мы уже определяли i для каждого числового интервала размеров, и параметр k для каждого квалитета.

Полученное значение k_ср редко бывает абсолютно точно равным какому - либо значению k, соответствующему конкретному квалитету, поэтому мы выбираем ближайший квалитет и по таблицам ГОСТ 25347 - 82 определяем допуски составляющих звеньев, обращая внимание на то, что допуски охватываемых размеров назначаем, как для основного вала, а допуски охватывающих размеров - рассчитываем, как для основного отверстия.

В условиях массового и крупносерийного производства расчет размерных цепей выше изложенными способами и методами часто не дает экономически выгодного и обоснованного результата.

Поэтому в массовом и в крупносерийном производстве целесообразно использовать теоретико-вероятностные методы расчета, которые основаны на суммировании средних размеров, определенных с учетом случайных погрешностей.

При этом замыкающее звено размерной цепи принимается за случайную величину, являющуюся суммой независимых случайных переменных размеров составляющих звеньев. Вместо алгебраического суммирования допусков, которое мы использовали в рассмотренных выше методах, используется квадратическое суммирование:

ТА_ =

Погрешности изготовления деталей различных размеров или их сборки могут подчиняться различным математическим законам (закону нормального распределения, закону равной вероятности, закону треугольника и др. Чаще всего – закону нормального распределения). Поэтому в расчеты вводят различные коэффициенты, связывающие эти законы с законом нормального распределения.

Для подробного ознакомления с другими методами целесообразно изучить «Методические указания. Цепи размерные. Основные понятия. Методы расчета линейных и угловых цепей РД 50-635-87».

Контрольные вопросы

1. Что такое размерная цепь? Назовите виды размерных цепей?

2. Как можно разделить размерные цепи по их назначению?

3. Какие звенья цепи называются составляющими, увеличивающими и

уменьшающими?

4. Что называют замыкающим звеном?

5. Что такое исходное звено?

6. Какие особенности решения прямой и обратной задачи размерного

анализа?

7. Какими методами решаются задачи размерного анализа?

8. В какой последовательности нужно провести размерный анализ методом на максимум – минимум?

9. В чем заключается особенности решения размерных цепей методом

равных допусков?

10. Как провести размерный анализ методом одинаковой точности (одного квалитета)?

9.Основы метрологии и метрологического обеспечения