Точки перегиба:
а) х=1 не является точкой перегиба, т.к. в ней функция не задана и разрывная;
б) Других критических точек второй производной нет.
Точек перегиба нет;
Для построения графика функции возьмём несколько вспомогательных точек из области определения функции: у(-3)= -9, у(0,5)= -1, у(4)=10+2/3.
С учётом результатов всех пунктов плана получим график функции, изображенный на рисунке 6.
№5.(б) Провести полное исследование функции
и построить график.
Решение:
Область определения и область непрерывности:
Функция определена на всей числовой
прямой
.
Функция является элементарной т.е. её область непрерывности совпадает с
областью определения. Точек разрыва нет;
Четность:
,
и
,
функция общего вида.
Функция S(t) не периодическая;
Пересечение с осями:
а)
с осью OS: при t=0
и точка пересечения (0; 0,4) ;
б)
с осью ОТ:
, его решение t=3 и
точка пересечения (3; 0);
Знаки функции
Асимптоты графика:
а) Вертикальных асимптот нет. т.к. функция на любом отрезке непрерывна,
следовательно, ограниченная;
б) Горизонтальные асимптоты
, левая горизонтальная асимптота S=0;
( ось ОТ )
,
правой горизонтальной асимптоты
нет;
в) Наклонные
Слева (при
)
не ищем т.к. имеется горизонтальная
асимптота.
Справа S=kt+b,
.
Наклонных асимптот нет;
Производная
.
при t=2 и других
критических точек производной нет.
Знаки производной:
S
’(0)=
=1>0
; S(2)=
;
S
’(3)=
<0.
Вторая производная:
,
a)
;
б)
существует при любом t
,
(других критических точек второй производной нет).
Знаки второй производной:
S’’(0)=
>0;
S (1)=
0,735;
S”(3)=
<0.
Точка t=1 является точкой перегиба графика функции;
График функции:
Для построения графика функции возьмём несколько вспомогательных
точек из области определения функции:
,
.
С учётом результатов всех пунктов плана получим график, изображенный на рисунке 7.
Рисунок 7
t
Х
Х
Х
Х
Х
Х
№4 (5 баллов) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в декартовой системе координат
№5 (5 баллов) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в декартовой системе координат
№6 (5 баллов) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями в полярной системе координат
№7 (5 баллов) Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиком функции. В вариантах 1 – 16 ось вращения ОХ, а в вариантах 17 – 32 ось вращения ОY.
