Варианты заданий

1. f (x) – количество ненулевых цифр в десятичной записи числа x.

2. f (x) – числитель следующего непрерывного многочлена x − − ой степени

1

1 + ₁ .

1 + ₁

1 + ₁

1 + ... ₁

1 +

x

Если в результате вычислений получается сократимая дробь, деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель не выполнять.

3. f (x, y) – наименьшее общее кратное чисел x и y.

4. f (x, y) – минимальное простое число, принадлежащее отрезку [x, y].

5. f (x) – простое число с номером x; простые числа нумеровать, начиная от 0.

6. f (x) – количество ненулевых цифр в троичном представлении числа x.

7. f (x, y) – максимальное простое число, принадлежащее отрезку [x, y]. Если такие числа отсутствуют, значение функции равно 0.

8. f (x) – номер наибольшего простого делителя числа x, где f (0) = 0.

9. f (x) – количество единиц в шестнадцатиричном представлении числа x.

10. f (x, y) – число простых чисел, не превосходящих x + y.

11. f (x) – количество ненулевых цифр в шестнадцатиричном представлении за- данного числа x.

12. f (x) – произведение удвоенных делителей числа x.

13. f (x, y) – число простых чисел, не превосходящих x + y .

14. f (x) – нечетное число Фибоначчи с номером x. Числа Фибоначчи определя- ются следующим соотношением

F (0) = 0, F (1) = 1,

F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) для n > 1.

Например, последовательность первых чисел Фибоначчи имеет вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

15. f (x) – четное число Фибоначчи с номером n (см. пояснение к предшествую- щему упражнению ).

16. k

    2

    f (x) – число Стирлинга второго рода с номером x. Число Стирлинга первого рода ^{{n }} равно количеству способов разбиения множества из n элементов на k непу- стых подмножеств. Так, например, ^{{4 }} = 7 и определяет число способов разбиения

четырехэлементного множества на две части:

{1, 2, 3} ∪ {4}, {1, 2, 4} ∪ {3}, {1, 3, 4} ∪ {2}, {2, 3, 4} ∪ {1},

{1, 2} ∪ {3, 4}, {1, 3} ∪ {2, 4}, {1, 4} ∪ {2.3}.

k

k

Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения как мно- жеств, так и чисел ^{{n }}. Подобное сходство помогает понять и запомнить смысл обозначения ^{{n }}, которое может быть прочитано как "k подмножеств из n". Для k = 0 принимается ^{{0 }} = 1, ^{{n }} = 0 при n > 0.

0 0

17. k

    k

    k

    f (x) – число Стирлинга первого рода с номером x. Числом Стирлинга первого рода ^{[n ]} отчасти похожи на числа Стирлинга второго рода (см. предшествущее за- дание ) с тем отличием, что число ^{[n ]} подсчитывает число способов представления n объектов в виде k циклов вместо представления в виде подмножеств. Обозначение ^{[n ]}

произносится как "k циклов из n". Цикл [A, B, C, ..., D] равен циклу [B, C, ..., D, A], поскольку конец цикла соединен с его началом. Таким образом, для цикла из четырех элементов выполняется равенство

[A, B, C, D] = [B, C, D, A] = [C, D, A, B] = [D, A, B, C] .

Существует одиннадцать различных способов составить два цикла из четырех эле- ментов:

[1, 2, 3] [4] , [1, 2, 4] [3] , [1, 3, 4] [2] , [2, 3, 4] [1] ,

[1, 3, 2] [4] , [1, 4, 2] [3] , [1, 4, 3] [2] , [2, 4, 3] [1] ,

[1, 2] [3, 4] , [1, 3] [2, 4] , [1, 4] [2.3] .

2

Следовательно, ^{[4 ]} =11.

18. k

    f (x) – число Эйлера с номером x. Число Эйлера ^{⟨n ⟩} равно числу перестано-

вок множества {1, 2, 3..., n}, имеющих k участков подъема, т.е. k мест в перестановке

2

a₁a₂...a_n, где a_j < a_j+1. Например, ^{{4 }} = 11, т.к. одиннадцать перестановок множе-

ства {1, 2, 3, 4} (из всех 4! = 34 перестановок ) содержат по два участка подъема:

1324, 1423, 2314, 2413, 3412,

1243, 1342, 2341;

2134, 3124, 4123.

В первой строке перечислены перестановки с отношениями a₁ < a₂ > a₃ < a₄, во второй строке перечислены перестановки с отношениями a₁ < a₂ < a₃ > a₄, и в третьей – с отношениями a₁ > a₂ < a₃ < a₄.

19. f (x) – числитель несократимого гармонического числа с номером x. Гармони- ческим числом называется

1 1 1 ⁿ 1

∑

H_n = 1 + ₂ + ₃ + ... + _n =

k

k=1

20. f (x) – знаменатель несократимого гармонического числа с номером x (см. пред- шествующее задание ).