Билет № 12

Цепь с активным сопротивлением. Активная мощность. График изменения тока, напряжения, мощности. Векторная диаграмма. Электрические лампы накаливания, печи сопротивления, бытовые нагревательные приборы, реостаты и другие приемники, где электрическая энергия преобразуется в тепловую, на схемах замещения обычно представлены только сопротивлением R. Для схемы, изображенной на рис. 13.1, а, заданы сопротивление R и напряжение, изменяющееся по закону

u = U_msinωt

Найдём ток и мощность в цепи.

 

Ток в цепи переменного тока с активным сопротивлением.

По закону Ома найдем выражение для мгновенного тока:

где I_m = U_m/R — амплитуда тока

Из уравнений напряжения и тока видно, что начальные фазы обеих кривых одинаковы, т. е. напряжение и ток в цепи с сопротивлением R совпадают по фазе. Это показано на графиках и векторной диаграмме (рис. 13.1, б, б).

Действующий ток найдем, разделив амплитуду на √ 2:

Формулы (13.1) выражают закон Ома для цепи переменного тока с сопротивлением R. Внешне они ничем не отличаются от формулы для цепи постоянного тока, если переменные напряжение и ток выражены действующими величинами.

Мгновенная мощность в цепи переменного тока с активным сопротивлением.

При переменных величинах напряжения и тока скорость преобразования электрической энергии в приемнике, т. е. его мощность, тоже изменяется. Мгновенная мощность равна произведению мгновенных величин напряжения и тока: p  = U_msinωt * I_msinωt = U_mI_msin²ωt

Из тригонометрии найдём 

Более наглядное представление о характере изменения мощности в цепи дает график в прямоугольной системе координат, который строится после умножения ординат кривых напряжения и тока, соответствующих ряду значений их общего аргумента — времени t. Зависимость мощности от времени — периодическая кривая (рис. 13.2). Если ось времени t поднять по чертежу на величину р = P_m√2 = U_mI_m√2, то относительно новой оси t’ график мощности является синусоидой с двойной частотой и начальной фазой 90°:

Таким образом, в первоначальной системе координат мгновенная, мощность равна сумме постоянной величины Р = UmIm√2 и перемен- ной р’:

р = Р + р’

Анализируя график мгновенной мощности, нетрудно заметить, что мощность в течение периода остается положительной, хотя ток и напряжение меняют свой знак. Это получается благодаря совпадению по фазе напряжения и тока.

Постоянство знака мощности говорит о том, что направление потока электрической энергии остается в течение периода неизменным, в данном случае от сети (от источника энергии) в приемник с сопротивлением R, где электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии. В этом случае электрическая энергия называется активной.

Если R — сопротивление проводника, то в соответствии с законом Ленца — Джоуля электрическая энергия в нем преобразуется в тепло.

Активная мощность для цепи переменного тока с активным сопротивлением

Скорость преобразования электрической энергии в другой вид энергии за конечный промежуток времени, значительно больший периода изменения тока, характеризуется средней мощностью. Она равна средней мощности за период, которую называют активной.

Активная мощность — среднее арифметическое мгновенной мощности за период.

Для рассматриваемой цепи активную мощность Р нетрудно определить из графика рис. 13.2. Средняя величина мощности равна высоте прямоугольника с основанием Т, равновеликого площади, ограниченной кривой р(t) и осью абсцисс (на рисунке заштриховано).

Равенство площадей РТ = S_p выполняется, если высоту прямоугольника взять равной половине наибольшей мгновенной мощности P_m.

В этом случае часть площади Sp , находящаяся выше прямоугольника, точно укладывается в оставшуюся незаштрихованной его часть:

P = UI

Активная мощность для данной цепи равна произведению действующих величин тока и напряжения:

P = UI = I²R = U²R

С математической точки зрения активная мощность является постоянной составляющей в уравнении мгновенной мощности p(t) [см. выражение (13.2)].

Среднюю мощность за период можно найти интегрированием уравнения (13.2) в пределах периода:

Сопротивление R, определяемое из формулы (13.3) отношением активной мощности цепи к квадрату действующего тока, называется активным электрическим сопротивлением.

Приборы электродинамической системы. Устройство, принцип действия. Достоинства и недостатки. Область применения. Устройство и применение электродинамического прибора. Работа электродинамического прибора основана на взаимодействии двух катушек, обтекаемых электрическим током. Электродинамический измерительный механизм (рис. 326, а) состоит из двух катушек: неподвижной 2 и расположенной внутри нее подвижной 1. Подвижная катушка 1 связана с осью прибора со стрелкой и с двумя спиральными пружинами 4 (или растяжками), которые служат для создания противодействующего момента и подвода тока к подвижной катушке 1. В приборе применяется демпфер 3, аналогичный ранее рассмотренному.

При прохождении по катушкам токов I₁ и I₂ возникают электродинамические силы F (рис. 326,б), которые стремятся повернуть подвижную катушку относительно неподвижной на некоторый угол. Вращающий момент, действующий на подвижную катушку,

M = c₁I₁I₂ (98)

где с₁ — постоянная величина, зависящая от параметров катушек (числа витков и размеров), их формы и взаимного расположения.

Повороту подвижной катушки противодействует момент М_пр = = с₂?. В момент равновесия М = М_пр, откуда

? = (c₁/c₂) I₁I₂ = kI₁I₂ (99)

где к — постоянная величина.

При переменном токе мгновенное значение вращающего момента М пропорционально произведению мгновенных значений токов i₁ и i₂, проходящих по катушкам. Средний же за период вращающий момент

M_cp = c₁I₁I₂ cos? (100)

где I₁ и I₂ — действующие значения токов i₁ и i₂; ? — угол сдвига фаз между ними.

Поэтому при переменном токе

? = кI₁I₂ cos?.

Значение вращающего момента М, созданного катушками электродинамического прибора, а следовательно, и угол поворота стрелки ? пропорциональны произведению проходящих по катушкам токов I₁ и I₂. Поэтому в зависимости от схемы включения катушек прибор может быть использован в качестве амперметра, вольтметра и ваттметра. При включении обеих катушек прибора последовательно в цепь измеряемого тока (рис. 327,а) прибор будет работать в качестве амперметра; при подключении катушек к двум точкам (рис. 327,б), между которыми действует подлежащее измерению напряжение,

Рис. 326. Устройство (а) и принципиальная схема (б) электродинамического измерительного механизма

прибор будет работать в качестве вольтметра. При подключении же одной катушки последовательно, а другой параллельно приемнику электроэнергии (рис. 327, в) угол отклонения стрелки будет пропорционален произведению тока I и напряжения U, т. е. мощности Р=UI и, следовательно, прибор будет работать в качестве ваттметра и измерять мощность, получаемую приемником. При переменном токе и включении катушек по схеме (см. рис. 327, б) угол сдвига фаз ? между токами 11 и I2 равен углу сдвига фаз <р между током I и напряжением U. Поэтому

? = kUI cos? = kP (101)

т. е. угол поворота стрелки пропорционален измеряемой мощности.

Достоинствами электродинамических приборов являются пригодность для измерения постоянного и переменного тока, равномерность шкалы у ваттметров и относительно высокая точность по сравнению с другими приборами, предназначенными для измерений в цепях переменного тока. К недостаткам относится сильное влияние внешних магнитных полей на точность измерений, чувствительность к перегрузкам и относительно высокая стоимость.

Электродинамические приборы применяют обычно в качестве точных лабораторных приборов, а также в качестве ваттметров и счетчиков электрической энергии в цепях постоянного тока.

Рис. 327. Схемы включения электродинамического прибора в качестве амперметра (а), вольтметра (б) и ваттметра (в)

Рис. 328. Принципиальная схема ферродинамического измерительного механизма

Устройство и применение ферродинамических приборов. Работа фер-родинамических приборов основана на том же принципе, что и приборов электродинамической системы. Для усиления магнитного поля в ферродинамическом измерительном механизме применен магнитопровод из ферромагнитного материала. Неподвижная катушка 2 (рис. 328) размещается на полюсах ферромагнитного сердечника 4, а подвижная 3 поворачивается так же, как и в приборах магнитоэлектрической системы,— в воздушном зазоре между полюсами 1 и неподвижным цилиндрическим сердечником 5. При такой конструкции приборы защищены от влияния внешних магнитных полей. Кроме того, увеличиваются магнитные потоки, создаваемые катушками, и возрастает вращающий момент, действующий на подвижную систему.

Ферродинамические приборы используют в качестве щитовых амперметров, ваттметров и вольтметров, работающих в условиях тряски и вибраций (например, на э. п. с. переменного тока). Кроме того, их применяют в качестве самопишущих приборов, так как они имеют значительный вращающий момент, преодолевающий трение в записывающих устройствах.

3. Задача с использованием формулы индуктивного сопротивления.