II. Виды средних величин и методы их расчета.

Вид степенной средней

величины

Форма степенной средней

величины

Описание

Формула для расчета

Пример

Средняя

арифметическая

простая

(невзвешенная)

используется когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

• = (Х₁+Х₂+…+Х_n) : n

Дано: Товарооборот (Х_i) пяти торговый центров следующий (Х_1, Х_2, Х_3, Х_4, Х₅): 130, 142, 125, 164 и 127 млн. руб. Рассчитаем среднюю арифметическую простую: (130+142+125+164+127) : 5 = 136,7 млн.руб.

взвешенная

используется когда отдельные значения осредняемого признака повторяются несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам (дискретным или интервальным).

При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимые вычисления осуществляют по середине интервального ряда

Дискретный ряд: рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом: 1день - 800 ак. по 1010 руб.; 2день - 650 ак. по 990 руб.; 3день -700 ак. по 1015 руб.; 4 день - 550 ак. по 900 руб.; 5 день - 850 ак. по 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА): ОСС = 1010×800 + 990×650+1015×700+900 × 550+1150×850 = 3634500; КПА = 800+650+700+550+ 850 = 3550. В этом случае средний курс стоимости акций был равен

Интервальный ряд: Определить среднюю прибыль организаций отрасли.

Прибыль, млн. руб.

Середина

интервала

Число фирм

до 20

20-30

30-40

40-60

60-80

80 и более

15

25

35

50

70

90

7

13

38

42

16

5

Итого

-

121

Расчет средней арифметической взвешенной:

(15×7+25×13+35×38+50×42+70×16+90×5) : 121= 44,9

млн. руб.

Средняя

гармоническая

взвешенная

используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель, т.е. известны индивидуальные значения признака Х и произведение Х×f , а частоты f – неизвестны.

Области ЦЧЭР

Валовой сбор, тыс. т

Урожайность,

ц/га

Белгородская

Воронежская

Курская

Липецкая

Тамбовская

97

204

0,5

16

69

16,1

9,5

4,8

10,9

7,0

Средняя урожайность могла бы быть рассчитана: Валовой сбор / Общая посевная площадь. Но показатель знаменателя (посевная площадь) неизвестен. Тогда используем формулу средней гармонической взвешенной, переведя тонны в центнеры

• = 9,9 ц/га

простая

(невзвешенная)

Применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта Х×f =1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу

Вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической простой, мы вычисляем среднюю скорость:

Средняя

геометрическая

простая

(невзвешенная)

Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000)

• =

где Х₁ , Х₂, Х₃…- цепные темпы роста

Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,57 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет: , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%.

взвешенная

используется, когда временные интервалы неодинаковы

Средняя

квадратическая

простая

(невзвешенная)

Среднеквадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции. Здесь определяют среднеквадратическое отклонение от планового выпуска продукции за определенный период по следующей формуле:

Эти величины точно характеризуют изменение экономических показателей по сравнению с их базисной величиной, взятое в его усредненной величине.

взвешенная

В статистике могут применяться также степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей.

Определение моды:

1) по несгруппированным данным.

Девять торговых фирм реализуют товар А по следующим ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Наиболее часто встречается цена 4,3 тыс. руб. – она и является модальной (модой).

2) по сгруппированным данным:

- по дискретным рядам:

П редставим распределение торговых организаций города по уровню розничных цена на товар А.

И таблицы видно, что наиболее распространенной является цена 55 руб., т.к. она наиболее часто встречается (в 60 организациях), поэтому цена 55 руб. является модальной (модой).

- по интервальным рядам мода определяется по формуле:

где Мо – мода,

x₀ – значение начала модального интервала,

h – размер модального интервала,

f_Мо – частота модального интервала,

f_Мо-1 – частота интервала, находящего перед модальным,

f_Мо1 – частота интервала, находящего после модального.

Пример:

Р аспределение населения РФ по уровню

среднедушевых денежных доходов в 1998 г.

Интервал 400-600 в данном распределении будет модальным, т.к. имеет наибольшую частоту. Далее по формуле рассчитываем моду:

Медиана – это значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Основное свойство медианы: сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Определение медианы:

1) по несгруппированным данным.

Для начала выстоим ранжированный ряд: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3; 4,4; 4,4; 4,5; 4,6; 4,6. Центральной в ряду является цена 4,4 тыс. руб. Причем, если ранжированный ряд имеет четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

2) по сгруппированным данным:

- по дискретным рядам:

Сначала находим номер медианной единицы ряда по формуле:

где n – объем совокупности

В нашем случае Nme = (190 - 1) : 2 = 95,5. Это означает, что точная середина находится между 95-ой и 96-ой организацией. Чтобы определить группу, к которой относятся организации с этими порядковыми номерами. Рассчитаем накопленные частоты 12+48=40; 12+48+56 =116. А значит организации с порядковыми номерами 95 и 96 относятся к группе организаций продающих товар А по цене 54 руб. – это цена и есть медиана.

- по интервальным рядам медиана определяется по формуле:

где x_Me — нижняя граница медианного интервала;

i_Me — ширина медианного интервала;

∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);

S_(Me-1)— накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

f_Me — частота медианного интервала.

Пример: Для определения медианного интервала рассчитываем накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор пока она не превысит ½ суммы накопленных частот (в нашем случае 73,35 = 146,7 : 2): 22,1+27,8=49,9; 22,1+27,8+25,2 = 75,1. А значит, интервал 600-800 является медианным.

Рассчитываем медиану по формуле: