Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції : — правило ланцюга.

Приклад. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ; 2) ; 3) .

 1) За формулою (5) маємо:

7. Візьмемо: . Тоді за правилом 4

.

Функції і — складні. Згідно з (5) маємо:

.

8. Нехай і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctgx³ і обчислюємо за формулою (5):

;



Література:

Ол1 стр.191-194

Лекція 21-22. Диференціювання неявно заданих функцій . Диференціювання параметрично заданих функцій. Поняття функції, заданої неявно. Диференціювання функції, заланої неявно Поняття функції, заданої параметрично. Диференціювання функції, заданої параметрично.

Якщо незалежна змінна х і функція у зв’язані рівнянням виду f(x, у) = 0, яке не розв’язане відносно у, то у називається неявною функцією х.

Незважаючи на те, що рівняння f(x, у) = 0 не розв’язане відносно у, можна знайти похідну від у по х.

Розглянемо диференціювання неявної функції, заданої рівнянням .

Для знаходження похідної функції у, заданої неявно, достат­ньо продиференціювати обидві частини рівняння, розглядаючи у як функцію від х, а потім зі здобутого рівняння знайти похідну у.

Приклад. Знайти похідну функції у, задану рівнянням

.

 Диференціюючи обидві частини рівності і враховуючи, що у є функцією від х, дістаємо:

. 

Диференціювання параметрично заданої функції грунтується на такій теоремі.

Теорема 3. Нехай виконуються такі умови:

1. Функції визначені та неперервні на деякому проміжку і;

2. Диференційовні в точці t0  і;

3. функція х = (t) є строго монотонною на проміжку І, (t₀)  0;

4. t = (х) — функція, обернена до функції х = (t). Тоді функція , диференційовна в точці х₀ = (t₀) і

або . (8)

Доведення. Оскільки функція є складеною і t = (х) — функція, обернена до функції х = (t), то за теоремами 1 і 2 про диференціювання складеної та оберненої функцій дістаємо:

Замінюємо х₀ на х:

.

де .

Очевидно, похідна параметрично заданої функції є також параметрично заданою функцією, причому її рівняння набирає вигляду

Аналогічно знаходимо похідні вищих порядків:

і т. д.

Наприклад:

.

Приклад. Знайти похідну функції, заданої параметрично:

1) 2)

 За формулою (8) дістаємо:

1. ; ;

2. ,

. 

Логарифмічне диференціювання

Правило 7. Якщо функція у = f(x) являє собою добуток кількох множників, то перш ніж диференціювати її, можна прологарифмувати цю функцію.

Приклад. Знайти у, якщо .

 Прологарифмуємо обидві частини даного рівняння:

.

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:



Література:

ОЛ2 стр.109-110

ОЛ1 стр.215

Лекція 23. Застосування диференціального числення для обчислення границь.

1. Правило Лопіталя.

2. Обчислення границь використовуючи правило Лопіталя.

Ефективним способом знаходження границь функцій, які мають особливості типу безмежність розділити на безмежність   чи нуль розділити на нуль (0/0) є застосування правила Лопіталя: границя відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих функцій рівна границі відношення їх похідних, якщо такі існують

Розкриття невизначеностей виду нескінченність мінус нескінченність, нуль помножити на нескінченність, нуль в степені нескінченність або навпаки   зводиться попередньо до розглянутих вище невизначеностей (правила Лопіталя). Якщо одна функція прямує до нуля , а друга до безмежності   при змінній прямуючій до певного значення  , то для застосування правила Лопіталя необхідно виконати наступні перетворення

У випадку трьох останніх невизначеностей ( ) потрібно застосовувати перетворення

Приклад 1. Знайти границі.

1)

Розв'язок. Підстановкою встановлюємо, що маємо невизначеність виду нуль на нуль  . Щоб її позбутися застосуємо правило Лопіталя

 2)

Розв'язок. Як і у попередньому прикладі маємо невизначеність  . За правилом Лопіталя знаходимо

 3)

Розв'язок. Враховуючи невизначеність   застосовуємо попереднє правило

 4)

Розв'язок. Розкриваємо невизначеність виду 

Чисельник та знаменник перетворимо до суми синусів на основі правила

В результаті отримаємо

Підставимо знайдені значення

Знову отримали невизначеність виду   та повторно застосовуємо правило Лопіталя

Тут враховано, що косинус функція прямує до одиниці при  .

 

5)

Розв'язок. Маємо невизначеність виду безмежність на безмежність  .

Знайдемо похідні

 6)

Розв'язок. Застосуємо останнє правило зведення до другої чудової границі

Застосування правила Лопіталя показало  переваги знаходження границі при розкритті невизначеностей. Користуйтеся правилом на практиці і Вам не буде важко знаходити подібні границі у навчанні.

Література:

ОЛ1 стр.233-234

Лекція 24.Похідні вищих порядків

1. Поняття похідної другого порядку.

2. Похідна n-ого порядку та її обчислення.

Нехай у = f(x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у = f(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f (x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f  або f ⁽²⁾. Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f  ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ⁽²⁾.

Аналогічно, похідною n-го порядку f ⁽ⁿ⁾ функції f (х) за індукцією називається похідна функції f ^(n-1), якщо вона існує і диферен­ційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ або Dⁿy, Dⁿf(x).

Приклад. Для функції f(x) = х⁴ + 2х³ + х + 5 знайти похідну n-го порядку.

 f (x) = 4х³ + 6х² + 1, f (x) = 12х² + 12х, f ⁽³⁾(x) = 24х + 12, f ⁽⁴⁾(x) = 24, f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n  5. 

Література:

ОЛ1 стр.223-225

Лекція 25. Диференціал функції

1. Диференціал функції першого порядку.

2. Диференціали вищих порядків.

Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі .

Означення. Величина f(x)х називається диференціалом функції f(x) за приростом х.

Позначення:

Геометрична інтерпретація:

Диференціал є лінійним наближенням до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) .