Властивості неперервних функцій

Теорема 2. Нехай функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:

1) f(x)  g(x); 3) const g(x);

2) f(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x)  0.

Теорема 3. Якщо функція у = f(x) неперервна в будь-якій точці х₀ і u = F(y) неперервна в точці f(x₀), то їх композиція f о F — cкладена функція і u = F(f(x)) — неперервна в точці х₀.

Доведення. За означенням

Приклад. Довести, що функція

неперервна в будь-якій точці х.

 Функція у є композицією двох неперервних функцій

і

Функція f(x) і F(x) неперервна згідно з теоремою 1, а їх композиція f о F неперервна за теоремою 3. 

Розриви функції

Означення. Функція у = f(x), яка не є неперервною в точці х₀, називається розривною в цій точці.

Можливі варіанти розриву функцій в точці

Означення.	Точка х0 називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінченні границі і при цьому:
	1.  або 2. або 3. або	неусувний розрив 1-го роду;
	4. — усувний розрив 1-го роду

Означення.

Точка х0 називається точкою розриву 2-го роду функції у = f(x), якщо одна із границь не існує або нескінченна.

Методика дослідження функції У = F(X) на неперервність

1. Знаходимо точку х₀ — «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо

.

4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію

1. Точка х₀ = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– ; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +) — іншу залежність: у = х + 1).

2. Функція неперервна на проміжках (– ; 1) і (1; + ).

3. Знаходимо

.

4. , тому за означенням функція має в точці х = 1 неусувний розрив 1-го роду.

Література: ОЛ1 стр. 169-170

Лекція 20. Похідна функції

1. Поняття похідної, її зміст.

2. Зв’язок між неперервністю і диференційованістю функції.

3. Знаходження похідних першого порядку. Основні правила диференціювання. Похідні основних елементарних функцій.

Поняття похідної

Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приросту х. Тоді функція y = f(x) набуде приросту

у = f(x + x) – f(x)

Означення. Відношення приросту у функції у = f(x) до приросту незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

(1)

Відношення є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута  нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Означення.

Функція у = f(x) називається 51иференційована51 в точці х = х0, якщо існує границя .

(2)

Значення границі при цьому називається похідною функції у = f(x) у точці х₀ і позначається

=

Означення. Функція називається 52иференційована52 на інтервалі І, якщо вона 52иференційована в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області 52иференційована5252і функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

Приклад. Розглянемо функцію і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції.

 Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):

.

Похідну знаходимо за (2): . 

Похідні основних елементарних функцій

3. Похідна степеневої функції

.

 Диференціальне відношення (1) має такий вигляд:

.

Згідно з наслідком 5 із підрозд. 4.2.6 маємо:

.

Отже, = 

4. Похідна показникової функції

5. Похідна логарифмічної функції

6. Похідні тригонометричних функцій

Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst) = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційована функція від х і с — довільна стала, то (cu)  = cu.

Правило 3. Якщо u та v — 53иференційована функції від х, то їх сума u + v є 53иференційована53 функцією: . Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа 53иференційована53 функцій дорівнює похідним цієї функції: .

Приклад. Знайти похідну функції .

 .

Правило 4. Добуток двох 53иференційована53 функ­цій u та v є 53иференційована53 функцією .

Похідна добутку n функцій:

(3)

Приклад. Знайти у, якщо у = (х² +1) lnx.

 .

Правило 5. У точках, в яких , відношення двох дифе­ренційовних функцій є функція 54иференційована, причому .

Приклад. Знайти у, якщо .



. 