Парабола

Параболою називають множину всіх точок площини, рівновіддалених

від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).

Нехай на площині задано фокус F і директрису таким чином, що відстань між ними дорівнює p. Розташуємо вісь Ох так, щоб вона проходила через фокус перпендикулярно до директриси, а вісь Оу ділила навпіл відстань між фокусом і директрисою.

Тоді фокус має координати F ( , 0), а рівняння директриси х = – .

Довільна точка M (x, y) належить параболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність MB = MF, де MB = x + ,

MF = , тоді x + = .

Звідки після перетворень дістаємо канонічне рівняння параболи: y² = 2px.

Вісь симетрії параболи називають віссю параболи. Точку перетину параболи з віссю називають вершиною параболи, а число p, яке дорівнює відстані між фокусом і параболою називають параметром параболи. Параметр p характеризує ширину області, яку обмежує парабола (чим більше p, тим ширша парабола).

Приклад 1. Побудувати криві, задані рівняннями: а) б)

Розв’язання.

Оскільки канонічне рівняння еліпса: , то дані рівняння задають еліпси.

а) , де = 4 і = 2, 2 – велика вісь еліпса, 2 – мала вісь еліпса. 2 = 8, 2 = 4.

б) , де = 2 і = 25, 2 – велика вісь еліпса, 2 – мала вісь еліпса. 2 = 4, 2 = 10.

Приклад 2. Побудувати криві, задані рівняннями: а) б) .

Розв’язання.

Дані рівняння задають гіперболу, оскільки канонічне рівняння гіперболи має вигляд .

а) , де = 1 і = 2, 2 – дійсна вісь гіперболи, 2 – уявна вісь гіперболи. Асимптоти гіперболи обчислюються за формулою: у = ± , тому асимптоти даної гіперболи є прямі у = ± 2. б) , де = 4 і = 1, 2 – дійсна вісь гіперболи, 2 – уявна вісь гіперболи. Асимптоти гіперболи – прямі у = ± .

Приклад 3. Побудувати графіки рівнянь: а) у² = 2х; б) у² = – 4х.

Розв’язання.

Канонічне рівняння параболи має вигляд у² = рх, де р – параметр параболи. Тому графіком даних рівнянь буде парабола.

а) у² = 2х, р = 1.

б) у² = – 4х, р = – 2.

Криві другого порядку як канонічні перерізи поверхні прямого кругового конусу.

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Вказані три криві мають спільне походження: всі вони є певними перерізами двопорожневого конуса. Цей факт чудово ілюструється

Література:

1. ОЛ 1 стр.97-113

2. ОЛ 2 стр. 48-54

Лекція 18 - 19. Границя змінної та її властивості. 1. Поняття границі змінної, її властивості 2. Нескінченно малі та нескінченно великі величини. Порівняння скінченно малих. 3. Границя суми, добутку та частки. 4. Важливі границі.

Означення. Нехай х₀(а, b) і функція у = f(x) визначена на інтервалі (а, b) за винятком, можливо, точки х₀. Якщо для будь-якої збіжної послідовності х_n ( , ) існує , то говорять, що функція має границю А при .

Позначення:

Інше означення границі функції дав Коші:

Означення. (Коші)

Границею функції при х, що прямує до а, називається число А, якщо для будь-якого існує число , таке що для всіх х, які задовольняють нерівність випливає

Позначення:

Пояснення. Для всіх х, що містяться поруч із точкою х = а, значення функції f(х) лежать біля А.

Означення:

Правою границею функції , коли х прямує до а справа, називається число l, таке що існує , при якому для всіх х, що задовольняють нерівність , маємо . Позначення: .

Рис. 31

Означення:

Лівою границею функції , коли х прямує до а зліва, називається число A–, таке що при будь-якому існує   0 таке, що для всіх х, які задовольняють нерівність , маємо .

Позначення:

.

Інколи границю називають двосторонньою границею, а границі зліва та справа — односторонніми границями.

Зв’язок між односторонніми та двосторонніми границями: Функція має границю в точці х = а тоді і тільки тоді, коли існують границі зліва та справа в точці х = а і дорівнюють одна одній. Символічно:

і .

Теореми про границі

Теорема 1. Якщо , то функція обмежена при .

Теорема 2. Якщо , то знайдеться такий -окіл точки а, де ця функція набуває значень, які мають той самий знак, що й А.

Теорема 3. Якщо то .

Теорема 4.

Якщо , то існує границя .

Теорема 5.

Якщо існують границі то виконуються такі співвідношення: 1) , 2) , 3) , якщо .