Лекція 15-17. Криві другого порядку. Еліпс. Коло

1. Поняття лінії другого порядку

2. Рівняння кола

3. Рівняння еліпса, його ексцентриситет

4. Рівняння гіперболи; ексцентриситет

5. Побудова кривої

6. Дослідження рівняння гіперболи

7. Рівняння параболи

8. Ексцентриситет параболи

9. Побудова кривої

10. Дослідження рівняння параболи.

Криві другого порядку. Канонічні рівняння.

Лінією (кривою) другого порядку називають множину точок площини,

координати яких задовольняють рівняння Аx² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 ,

де хоча б одне з чисел A, B, C відмінне від нуля.

До ліній другого порядку належать коло, еліпс, гіпербола, парабола.

Коло

Колом називають множину точок площини, відстані яких від заданої точки цієї ж площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу).

Рівняння (x – a)² + (y – b)² = R² описує коло радіуса R, центр якого знаходиться у точці К(а;b).

У випадку, коли центр кола розташований у початку координат,

рівняння набуває канонічного вигляду x² + y² = R².

Еліпс

Розглянемо на площині точки F₁ і F₂ – фокуси еліпса. Розташуємо координатні осі так, щоб вісь Ох проходила через ці точки, а вісь Оу проходила через середину відрізка F₁ F₂ перпендикулярно до Ох. Позначимо відстань між фокусами F₁ F₂ = 2c, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів 2a, 2a > 2c . Тоді фокуси матимуть координати F₁ (– с, 0) та F₂ (с, 0) .

За означенням довільна точка M (x, y) належить еліпсу тоді і тільки тоді, коли виконується рівність + = 2а.

Піднесемо двічі до квадрату ліву і праву частини цього рівняння, дістанемо x² (a² – c² ) + y² a² = a² (a² – c² ). Позначимо різницю a² – c² = b² і отримаємо . Останнє рівняння є канонічним рівнянням еліпса.

Величини А₁А₂ = 2а та В₁В₂ = 2b називають відповідно великою та малою осями еліпса. Відношення e = , 0 e < 1 , називають ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет характеризує витягнутість еліпса. Чим ексцентриситет ближче до нуля, тим еліпс більш нагадує коло і навпаки, чим ексцентриситет ближче до одиниці, тим він більш витягнутий.

Якщо a = b, то рівняння набуває вигляду x² + y² = a² , отже є окремим випадком еліпса, у якого фокуси збігаються в одну точку – центр. Відрізки F₁M і F₂M називають фокальними радіусами точки М:

r₁ = F₁M = і r₂ = F₂M = .

Прямі х = ± , або х = ± називають директрисами еліпса. Оскільки e < 1, то > a, тобто директриси лежать поза ним.

Директриса (від пізньолат. directrix — спрямовуюча) — пряма лінія, що лежить в площині перерізу конічної поверхні і має таку властивість, що відношення відстаней від будь-якої точки кривої до найближчого фокусу та до цієї прямої є величина стала, і дорівнює ексцентриситету відповідної кривої.

Для директрис має місце наступне твердження:

Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки до відповідних директрис є стала величина, що дорівнює ексцентриситету еліпса, тобто .

Гіпербола

Гіперболою називають множину всіх точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох заданих точок цієї площини (фокусів) є величина стала і менша відстані між фокусами.

Позначимо відстань між фокусами F₁ F₂ = 2c, а модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів 2a, 2a < 2c . Тоді фокуси матимуть координати F₁ ( – с; 0) та F₂ (с; 0).

За означенням довільна точка M (x, y) належить гіперболі тоді і тільки тоді, коли виконується рівність - = 2a.

Після належних перетворень, дістаємо канонічне рівняння гіперболи де b² = c² – a².

Відрізок A₁ A₂ = 2a називають дійсною віссю гіперболи, а відрізок В₁ В₂= =2b уявною віссю.

Рівняння визначає гіперболу, яку називають спряженою до гіперболи .

Ексцентриситет гіперболи визначають як відношення фокальної

відстані гіперболи до довжини її дійсної осі: e = , e < 0 .

Прямі х = ± , де а — дійсна піввісь гіперболи, називають директрисами гіперболи. Вони мають ту саму властивість, що і директриси еліпса: