4. Матриця, обернена до верхньої трикутної матриці, також є верхньою трикутною матрицею. 

Приклад.Розглянемо верхню трикутну матрицю А і обернену до неї:

.

Отже, обернена матриця справді є верхньою трикутною.

Література:

ОЛ1 стр 6-9, 18-19

Лекція7. Системи лінійних рівнянь

1. Метод Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь.

2. Метод Гауса для розв’язування систем лінійних рівнянь.

3. Матричний метод для розв’язування систем лінійних рівнянь.

Спинимося на застосуванні теорії визначників до розв’язуван­ня системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

(1)

Означення. Визначник, елементами якого є коефіцієнти при невідомих у системі (1)

, (2)

називається визначником цієї системи.

Теорема. Якщо визначник D системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1) відмінний від нуля, то ця система має єдиний розв’язок:

(3)

Тут D_k — визначник, утворений з визначника D системи (1) заміною k-го стовпця на стовпець із правих її частин.

Приклад.Розв’яжемо за формулами Крамера систему рівнянь:

 Запишемо відповідні визначники і знайдемо розв’язки системи рівнянь:

Приклад.Розв’яжемо систему рівнянь

 Обчислимо визначник цієї системи:

.

Визначник системи відмінний від нуля. Знайдемо тепер визначник і розв’язки системи рівнянь:

Формули Крамера незручні для практичних обчислень при , але вони застосовуються в теоретичних дослідженнях.

Метод Гаусса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

(1)

до трикутного вигляду

(2)

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт . Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова .

Знайдемо розв’язок системи рівнянь

за методом Гаусса.

 Складемо таблицю

Перший рядок віднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо від третього рядка. Дістанемо таблицю

Помножимо другий рядок на третій і додамо до третього рядка:

Поділивши останнє рівняння на 14, дістанемо систему

Послідовно знайдемо: . 

Матричний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь.

Нехай задано систему, яка містить n лінійних рівнянь n з невідомими.

Введемо матриці

,

Тоді система перепишеться у вигляді матричного рівняння

Домножимо зліва його обидві частини на , отримаємо:

Оскільки , то - розв’зок матричного рівняння.

Зауваження: розв’язок системи у матричній формі можливий лише тоді, коли матриця системи невироджена

Література:

ОЛ2 стр21- 24

Лекція 8. Метод Джордана –Гауса для розв’язування систем лінійних рівнянь

1. Метод Джордана Гауса.

2. Розвязування систем лінійних рівнянь методом Джордана-Гауса.

Метод Жордана—Гаусса є модифікацією методу Гаусса і часто застосовується в економічних розрахунках. Сутність методу полягає в тому, що кожне невідоме виключається не тільки з розміщених нижче, а з усіх рівнянь. У такому разі зростає обсяг обчислень. Якщо система n рівнянь з n невідомими

(1)

має єдиний розв’язок, то вона перетворюється до вигляду

.

Приклад.Знайдемо розв’язок системи рівнянь

 Утворимо відповідну таблицю коефіцієнтів:

Поділивши перший рядок на 2, дістанемо таблицю:

Перший рядок додамо до другого. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третього рядка. Утворимо таблицю:

Поділимо другий рядок на 7/2:

Помножимо другий рядок на 1/2, віднімемо від першого рядка і додамо до третього. Дістанемо:

Поділивши третій рядок на 4/7, запишемо:

Помножимо третій рядок на 4/7 і віднімемо від першого рядка. Далі помножимо третій рядок на 1/7 і додамо до другого, утворивши заключну таблицю:

Звідси знаходимо розв’язок . 

Метод Жордана—Гаусса застосовується також для розв’язу­вання складних систем m рівнянь з n невідомими:

(2)

Якщо ранг матриці коефіцієнтів при невідомих дорівнює r, то таблиця коефіцієнтів набирає вигляду:

(3)

Якщо хоча б один із членів відмінний від нуля, то система рівняння несумісна. Якщо , то система сумісна і має m базисних невідомих, які відповідають першим r стовпцям і вільним невідомим.

Приклад.Знайдемо методом Жордана—Гаусса розв’язок системи рівнянь

 Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:

Перший рядок віднімемо від другого, далі перший рядок помножимо на 2 і віднімемо від третього. Остаточно дістанемо:

Другий рядок помножимо на –2 і віднімемо від першого рядка. Третій рядок віднімемо від першого. У результаті запишемо таблицю:

Підставивши другий стовпець на останнє місце, дістанемо таблицю виду (3):

Невідомі — базисні, невідоме х₂ — вільне. Відповідна система рівнянь така:

Її загальний розв’язок:

де С — довільна стала. 

Досі ми розглядали лише навчальні приклади зі сталими коефіцієнтами й цілочисловими розв’язками. Розглянемо складніший приклад.

Приклад.Розв’яжемо за методом Жордана—Гаусса систему

 Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Поділивши перший рядок на 21, дістанемо таблицю:

Помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від другого. Далі перший рядок помножимо на 4 і віднімемо від третього:

Поділимо другий рядок на 7,142857142:

Помножимо другий рядок на 0,571428571 і додамо до першого рядка; далі помножимо другий рядок на 2,714285716 і додамо до третього:

Поділимо третій рядок на 12,72666667:

Помножимо третій рядок на 0,04 і додамо до першого рядка; потім помножимо третій рядок на 0,486666667 і додамо до другого рядка:

Звідси дістанемо розв’язок:

х₁ = 0,449973808, х₂ = 0,308014618, х₃ = 0,249345207,

який можна округлити згідно з точністю початкових даних. 

Література:

ОЛ2 стр28- 30.

Лекція 9. Вектори. Скалярний добуток.

1. Вектори в системі координат.

2. Лінійні операції з векторами.

3. Скалярний добуток двох векторів.

Означення. Віссю називається напрямлена пряма. Вісь називається числовою, якщо на ній вибрано початок координат і одиницю масштабу. Початок координат поділяє вісь на дві пів­осі — додатну і від’ємну. Координатою точки на осі називається відстань від цієї точки до початку координат, що береться зі знаком «плюс», якщо точка лежить на додатній півосі, і зі знаком «мінус», якщо вона лежить на від’ємній півосі.

Розміщення точки на осі повністю визначається її координатою.

Положення точки на площині визначається двома координатами, які відшукують так.

Проводять дві взаємно перпендикулярні прямі Ох і Оу (рис. 8). Їх називають осями координат. Одна з них Ох (її, здебільшого, проводять горизонтально) називається віссю абсцис, а інша — віссю ординат. Точка О їх перетину називається початком координат. Для вимірювання відрізків на осях координат вибирають деяку одиницю масштабу (довільну, але одну й ту саму для обох осей).

На кожній осі вибирають додатний напрям, який позначають стрілкою.

Додатний напрям вибирають так, щоб додатний промінь Ох після повороту на 90 проти годинникової стрілки суміщався з додатним променем Оу.

Осі координат Ох, Оу (з установленими додатними напрямами та вибраним масштабом) утворюють прямокутну систему координат.

Розміщення точки М на площині у прямокутній системі координат визначається так. Проводимо пряму, що проходить через точку М паралельно осі Оу, і продовжуємо її до перетину з віссю Ох у точці М_х (рис. 3.1), а також пряму, що проходить через цю саму точку паралельно осі Ох до перетину з віссю Оу у точці М_у. Числа х і у, які вимірюють відрізки ОМ_х та ОМ_у у вибраному масштабі (а іноді й самі ці відрізки), називаються прямокутними координатами точки М. Записують: М (х, у).

Рис. 8

Число х називають абсцисою точки М, а число у — її ординатою.

Для довільної пари чисел х, у існує єдина точка М, в якої х є абсцисою, а у — ординатою.

Поряд із декартовою застосовують і інші системи координат (наприклад, полярну систему).

Відстань між точками.

Нехай на площині ху задано дві точки М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂). Знайдемо відстань d між ними (рис. 9).

Рис. 9

За теоремою Піфагора маємо:

Звідси знаходимо відстань .

(1)

Прямокутна система координат.

Три взаємно перпендикулярні осі х, у, z, які проходять через деяку точку О, утворюють прямокутну (декартову) систему координат у просторі. Точка О називається початком координат, прямі х, у, z — осями координат (х — вісь абсцис, у — вісь ординат, z — вісь аплікат), а площини хОу, уОz, zOx — координатними площинами. За одиницю масштабу для всіх трьох осей беруть довільний відрізок.

Відклавши на осях х, у, z у додатному напрямі відрізки ОА, ОВ, ОС, що дорівнюють одиниці масштабу, дістанемо три вектори ОА, ОВ, ОС, які називаються основними векторами, або ортами, і позначаються відповідно i, j, k.

Додатні напрями на осях вибирають так, аби поворот на 90, який суміщує додатний промінь Ох із додатним променем Оу, здавався таким, що відбувається проти годинникової стрілки, коли спостерігати його з боку променя Оz. Така система координат називається правою. Іноді користуються й лівою системою координат. У ній зазначений поворот відбувається за годинниковою стрілкою.

Розміщення будь-якої точки М у просторі можна визначити трьома координатами так. Через М проводимо площини, які паралельні відповідно площинам уOz, zOx, xOy. У перетині з осями дістанемо точки М_х, М_у, М_z. Числа х, у, z, якими вимірюють відрізки ОМ_х, ОМ_у, ОМ_z у вибраному масштабі, називають прямокутними (декартовими) координатами точки М, і записують це так: М(х, у, z).