Розв'язання

Нехай подія А — «випало два герба».

Простір елементарних подій складається з чотирьох подій:

А₁ — «випало два герба»; A₂ — «випали герб та число»; А₃ — «випали число та герб»; А₄ — «випали два числа».

Події А сприяє лише подія А₁.

Отже, т = 1, n = 4 і тоді

P(A)= .

Відповідь: .

Обчислювати ймовірність подій, будуючи кожний раз мно­жину елементарних подій і підраховуючи число подій, що спри­яють цій події, інколи важко. Тому для обчислення ймовірнос­тей користуються правилами, які дозволяють за відомими ймо­вірностями одних подій обчислювати ймовірності інших подій, які утворюються з них за допомогою деяких операцій.

Познайомимося з операціями над подіями.

Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні під час одиничного випробування або події А, або події В, або обох подій одночасно.

Суму двох подій позначають так:

С = А + В або С = A U В.

Графічно суму подій можна зобразити як об'єднання множин (рис. 128). Суму подій А і В, як і суму множин, називають об'єднанням. На рис. зображено об'єднання (суму) сумісних подій А та В, та суму двох несумісних подій А і В, яка полягає в здійсненні або події А, або події В (одночасна поява подій А і В виключена).

Приклад. Якщо подія А — «влучення в ціль з першого пост­рілу», подія В — «влучення в ціль з другого пострілу», то подія С = А + В — «влучення в ціль».

Подія називається протилежною до події А, якщо вона відбу­вається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається. Чи­тається — «не А».

Приклад 1. Якщо подія А — «попадання в ціль при пострілі», то подія — «промах при пострілі».

Приклад 2. Якщо подія А — «взято стан­дартну деталь» при випробуванні — на­вмання взято деталь із ящика, то «взя­то нестандарту деталь».

Події А і утворюють повну групу несумісних подій U (рис. 129).

Для будь-якої події А мають місце рів­ності:

А + U = U; А + А = А; A + =U; А + = А.

Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в здійс­ненні обох подій А і В під час одиничного випробування.

Добуток двох подій А і В позначають так: С = А · В або С = АВ, або С = А В.

Графічно добуток двох подій, як і двох множин, зображається так, як на рисунку:

Для будь-якої події А і повної групи несумі­сних подій U мають місце рівності:

А·А =А; А· = , А · = ; А · U = А.

Приклад. Якщо подія А — «перший стрілець влучив у ціль», подія В — «другий стрілець влучив у ціль», тоді подія С =А·В — «в ціль влучили обидва учасники».

У теорії ймовірності розрізняють прості і складені події.

Наприклад, під час кидання двох монет подія А — «на першій монеті випав герб» є простою.

Подія називається складеною, якщо поява її залежить від появи інших, простих подій.

Наприклад, під час кидання двох монет подія А — «випав хоча б один герб» — складена, бо вона складається з таких подій:

A₁ — «випав герб тільки на першій монеті»;

А₂ — «випав герб тільки на другій монеті»;

А₃ — «випав герб на обох монетах»,

тобто А = А₁ + A₂ + А₃.

Теореми про додавання

Якщо випадкові події А і В несумісні ( А В С =Ø ), то

Р( А+ В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С).

Ймовірність суми двох будь-яких довільних випадкових подій А і В дорівнює сумі ймовірностей кожної з них без імовірності добутку їх:

Р( А + В ) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ ).

Приклади

1. Із 100 валів з чотирма групами допусків 15 штук мають Ι групу, 40 – ΙΙ групу, 30 штук – ΙΙΙ групу. Визначити ймовірність появи валів четвертої групи.

Рішення: Ймовірність появи вала: Ι групи В₁: Р (В₁) = ; ΙΙ групи В₂: Р (В₂ )= =0,4; ΙΙΙ групи В₃: Р(В₃) =0,3; ΙY групи В₄ : Р(В₄) = .

Кожний вал належить тільки до певної групи, тобто: В₁ + В₂ +В₃ +В₄ =В_В; Р(В₁) +Р(В₂) + Р(В₃) + Р(В₄) =1; 0,15 + 0,4 + 0,3 + Р(В₄)= 1; Р(В₄)= 0,15.

2. В кошику міститься n деталей, з яких m стандартних. Знайти ймовірність того, що серед k вийнятих деталей хоч би одна була стандартною.

Рішення: Подія А – серед вийнятих деталей хоч би одна є стандартною, подія Ā – серед вийнятих деталей немає жодної стандартної. Події А і Ā протилежні: А + Ā = А_в ; Р(А) = 1 – Р(Ā). Загальне число способів вибору з n деталей k різних позначимо . Нестандартних деталей є (n – m) , з яких k різних нестандартних деталей можна вибрати способами. Отже, ймовірність появи нестандартної деталі , тоді

Р( А ) = 1 – .

Теореми множення ймовірностей будь – яких подій

Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто

Р(А·В) = Р(А) ·Р(В) .

Приклад

Завод в середньому випускає 27% продукції вищого сорту та 70% першого сорту. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб буде вищого або першого сорту.

Рішення: Подія А – „навмання взятий виріб – вищого або першого сорту.” Подія А₁ – „навмання взятий виріб – вищого сорту.” Подія А₂ – „навмання взятий виріб – першого сорту”. Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) = 0,27 +

+ 0,7 = 0,97.

Залежні події . Умовні ймовірності

• Означення : Умовні ймовірності Р_А(В) або Р(А/В) визначаються формулою Р_А(В) = , де Р(А) > 0.

Ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої події, якщо перша вже відбулася.

Р(А·В) = Р(А) ·Р_А(В) .

Приклад

Гральний кубик підкидають двічі. Відомо, що сума очок, які випали при першому та другому підкиданнях, менша за 5 ( подія В ). Яка ймовірність того, що при першому підкиданні випало 1(подія А)?

Рішення: Простір Ω складається з 36 рівно можливих елементарних подій. Випадковими подіями А, В є підмножини:

А ={(1;1),(1;2),(1;3),(1,4);(1;5),(1;6)}.

В ={ (1;1),(1;2), (2;1),(1;3),(3;1)}. А В = .

Тому Р(А) = ; Р(В ) = ; Р(А В) = .

• Незалежні події.

Ймовірність появи хоч би однієї з подій А₁, А₂, А₃,.. ...,А_n, незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей подій, протилежних даним.

Р(А) = 1 – q₁q₂q₃ ... q _n.

Приклади

1. Стрілець вистрілив 4 рази. Влучення чи промах не залежить від номера пострілу. Ймовірність промаху – 0,7 , а влучення – 0,3. Знайти ймовірність подій: а) подія А – три перших постріли – промах, а четвертий – влучення; б) подія Е – два влучення.

Розв’язання: а) Р(А) = 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,1029.

б) Можливі варіанти події: (ППВВ), (ВВПП),(ПВПВ), ( ВПВП), (ПВВП), (ВППВ).

. Ймовірності кожного з цих шістьох варіантів однакові:

Р(ППВВ) = 0,7 · 0,7 · 0,3 · 0,3 = 0,0441; Р(Е) = Р(ВВ) = 0,0441· 6 = 0,2646.

2. Виконується n незалежних дослідів, у кожному з яких подія А з’являється з ймовірністю р . Знайти ймовірність того, що в n дослідах подія А з’явиться хоч би один раз.

Розв’язання: Нехай подія Е полягає в тому, що подія А з’явиться в n дослідах хоч би один раз, тоді подія Ē означатиме, що подія А в n дослідах не з’явиться жодного разу: Е = ; Р( Ē) = (1- р)ⁿ = qⁿ .

Р(Е) = 1 – (1 – р)ⁿ = 1 – qⁿ .

Література:

ОЛ1, стр.393-400

Лекція 56. Випадкові події

1. Послідовність незалежних випробувань.

2. Формула Бернуллі.

Послідовність випробувань. Схема Бернуллі.

Повторні незалежні випробування стохастичного експерименту називають схемою Бернуллі, якщо при кожному випробуванні можливі лише два наслідки : подія А ( успіх ) або Ā ( невдача ) і ймовірність появи події А при кожному випробуванні дорівнює р. ( 0 < р < 1). Ймовірність „успіху ” позначатимемо – р; „ невдачі” – q . Згідно рівняння р + q = 1 ; q = 1 – р.

Нехай Р_n(k) – імовірність того, що в схемі Бернуллі при п випробуваннях k разів відбулася подія А .

Р _n(k) = C_n^k p ^k q ^{n – k} = C_n^k p ^k (1-p ) ^{n – k} . де ( k = 0;1;2;...; п)

Ймовірність появи події А k разів в n випробуваннях, якщо ймовірність появи А в одному випробуванні – р, не появи – q.

Якщо = , то формула Бернуллі

Р_n(k) = C_n^k p ^k q ^{n – k} = р ^kq ^{n – k} .

Приклад

Яка ймовірність того, що при десяти кидках грального кубика 3 очка випаде рівно 2 рази ?

Рішення: В цій задачі n = 10, m = 2, р = 1/6, q = 1 – р =1 – 1/6 = 5/6. Тоді

Р₁₀(2) = 0,29.

Лекція 57. Випадкові події

1. Повна ймовірність.

2. Формула Байєса

Формула повної імовірності.

Коли подія А може настати тільки при появі однієї із несумісних подій / гіпотез / Н₁,Н₂,...Н_n, то ймовірність події А знайдемо згідно формули повної імовірності:

Р(А) = . де =1.

Якщо Н₁ , Н₂, ... , Н_n – повна група подій і Р(Н_i) > 0 для

i = 1;2;…;n, то для будь – якої випадкової події А справджується рівність

Р(А) = .

Де Р(Н_i) – ймовірність гіпотези Н_i ; або Р(А/Н_i) – умовна ймовірність події А при цій гіпотезі.

Приклад

У 10 ящиках складено деталі 2-х сортів. У перших 3-х по 3 деталі першого сорту і по 7 деталей 2-го сорту;в 4-му ящику –дев’ять деталей 1-го сорту і одна деталь 2-го ; в шістьох ящиках , що залишилися: по 1-ій деталі 1-го і по 9 деталей 2-го сорту. З довільного ящика навмання виймають деталь. Визначити ймовірність того, що ця деталь була другого сорту.

Рішення: Усі ящики можна проділити на три групи та висунути три гіпотези: Н_1, Н_2, Н₃. Гіпотези: Н₁ – виймається деталь з ящика 1-ої групи; Н₂ – виймається деталь з ящика 2-ої групи; Н₃ – виймається деталь з ящика 3-ої групи. Ймовірність того, що виймається деталь з ящика певної групи, буде Р(Н₁) = ; Р(Н₂) = ; Р(Н₃) = . Події Н₁,Н₂, Н₃ – несумісні і утворюють повну групу. Знайдемо ймовірність появи деталі другого сорту за умови, що здійснилася одна з подій Н₁,Н₂,Н₃ :

Р( А/Н₁ ) = 7/10; Р( А/Н₂) =1/10; Р(А/Н₃) =9/10. Повна ймовірність:

Р(А) = ·Р(А/Н_і) = = 0,76.

Формула ймовірності гіпотез (формула Байєса)

З формулою повної ймовірності тісно пов’язана формула Байєса. Якщо до досліду ймовірності гіпотез були Р(Н₁), Р(Н₂), ..., Р(Н_n), а внаслідок досліду подія А відбулася, то можна оцінити ймовірність виконання гіпотези Н_i. Нові, умовні ймовірності гіпотез знаходимо по формулі Байєса. ( i = 1,2,...,n )

Р_А(Н_i) = .

Нехай сукупність випадкових подій Н₁,Н₂,...Н_n утворює повну групу подій, причому Р(Н_i) > 0, i = 1;2; ... ;n. Тоді для довільної випадкової події А, такої, що Р(А) > 0, виконується рівність

Р_А(Н_i) = .

Де Р(Н_i) – ймовірність гіпотези Н_i ; або Р(А/Н_i) – умовна ймовірність події А при цій гіпотезі.

Формула Байєса дає можливість переглянути імовірності гіпотез на підставі врахування спостереження результату досліду.

Приклад

В урні є n куль, колір яких нам невідомий. Можлива ( n + 1 ) гіпотеза ( припущення ) про кількість білих куль в урні : Н₀ Н₁ Н₂...Н_{n .} Де Н_i – гіпотеза, яка полягає в тому, що в урні рівно i білих куль. З урни навмання взяли одну кулю, й вона виявилася білою. Обчислити ймовірність того, що біла куля вийнята з i – ої урни.

Рішення: Природно припустити, що ці гіпотези рівно можливі : Р(Н₁) = = Р(Н₂) = ... = Р(Н_n) = ; Подія В – навмання взята куля виявилось білою. Очевидно Р_Нi(В) = . Отже, за формулою Байєса

Р_В(Н _i ) = = = = .

Отже, найімовірнішою після досліду є гіпотеза Н_n.

Лекція 58. Дискретна випадкова величина

1. Дискретна випадкова величина.

2. Закон її розподілу

3. Розв’язування задач

Випадкова дискретна величина

Одне з основних понять теорії ймовірностей – дискретна випадкова величина Х, яка набуває конкретних значень xi з імовірністю pi. Ці випадкові величина називають цілочисловими. Якщо можливі значення випадкової величини становлять скінченну послідовність, то розподіл імовірностей випадкової величини визначають, задаючи значення x1, x2, …, xn і відповідних їм імовірностей p1, p2, …, pn. Моделювання випадкової дискретної величини виконується аналогічно моделюванню групи несумісних подій, тобто випадкову величину Х подають як повну групу подій: A1=(X=x1 ),A2=(X=x2 ), …,An=(X=xn ).

Випадковою називається величина, значення якої наперед відомі і які можуть бути визначені лише внаслідок досліду.

Якщо простір елементарних подій складається з n пострілів по мішені, випадковою величиною буде число попадань чи непопадань у мішень. Можливі значення випадкової величини: 0,1,2,..,n .

Якщо випадкова величина набуває скінченої дискретної кількості значень, то її можна задати, вказавши можливі значення випадкової величини і ймовірність появи їх :

Значення випадкової величини	х1	х2	х3	...	хn
Ймовірність її появи	р1	р2	р3	...	рn

При цьому р_k 0 ; =1.

Випадкові величини поділяються на дискретні і неперервні.

Дискретною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої можуть бути пронумеровані в якомусь порядку і записані у вигляді послідовності х_1, х₂ ,…, х_n .

Якщо таку нумерацію можливих значень з використанням натурального ряду чисел здійснити не можна, то випадкова величина називається неперервною.

Співвідношення між можливими значеннями випадкової величини та їхніми ймовірностями дістало назву закону розподілу випадкової величини.

Закони розподілу можуть бути виражені: 1) таблицею; 2) графіками; 3) аналітичною функцією розподілу випадкової величини F(х),густиною розподілу випадкової величини f(х)

Таблиця розподілу ймовірності найчастіше застосовується тоді, коли число можливих значень випадкової величини скінчене чи зчисленне.

Приклади

1. У грошовій лотереї на 100 білетів розігрується один виграш 50 грошових одиниць і 10 виграшів по одній грошовій одиниці. Знайти закон розподілу випадкової величини – вартості можливого виграшу для власника одного лотерейного білета.

Розв’язання : Можливі значення Х : х₁ = 50 ; х₂ = 1 ; х₃ = 0. Ймовірність цих можливих значень р₁= Р( х₁ = 50 ) = = 0,01 ;

р₂ = Р( х₂ = 1) = = 0,1. Оскільки р₁ + р₂ + р₃ = 1 , то

р₃ = 1 – ( р₁ + р₂ ) , р₃ = 1 – ( 0,01 + 0,1 ) = 1 – 0,11 = 0,89. Шуканий закон розподілу подамо у вигляд таблиці:

Х	50	10	0
Р	0,01	0,1	0,89

Література:

ОЛ1, стр.409-411

Лекція 58.Числові характеристики дискретних випадкових величин

1. Математичне сподівання.

2. Дисперсія.

3. Середнє квадратичне відхилення.

4. Виконання вправ.

Нехай Х – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х_1,х₂,...,х_n,... з імовірностями р_1,р₂,...,р_n,... відповідно.

Означення: Математичним сподіванням М(Х) називають число (сталу) суми добутків значень х_i на їх ймовірності р_i :

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + ...+х_nр_n або

Означення: Дисперсією D(Х) дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

D(Х) = М [Х – М(Х)] ² або D(Х) = М(Х²) – [ M(X)]² .

Означення: Середнім квадратичним відхиленням називається величина .

Приклади

1. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини Х, розподіл якої задається такою таблицею.

Х	-1	0	1	2
Р	0,25	0,5	0,1	0,15

Розв’язання: Математичне сподівання М(Х): М(Х) = = х₁р₁ + +х₂р₂ + ...+х_nр_n = (-1) · 0,25 + 0 · 0,5 + 1 · 0,1 + 2 · 0,15 =0,15 ; Запишемо закон розподілу квадрата випадкової величини Х

Х2	(-1)2	02	12	22
Р	0,25	0,5	0,1	0,15

Знайдемо математичне сподівання квадрата випадкової величини Х : М(Х ² ) = = х₁² р₁+ х₂² р₂ + ...+ х_n ²р_n = (-1)² · 0,25 + 0² · 0,5 +

+ 1² · 0,1 + 2² · 0,15 = 0,95 . Підставимо в формулу дисперсії D(Х) =

=М(Х ² ) – [М(Х)]² = 0,95 – (0,15)² = 0,9275; Знайдемо середнє квадратичне відхилення = 0,9631.

2. Розподіл випадкових незалежних величин Х та У задаються такими таблицями. Знайти математичне сподівання М (Х+У) та дисперсію

D ( Х +У ) суми дискретних випадкових величин Х та У.

Х	0	2	5		У	1	2	4	5
Р	0,15	0,25	0,6		Р	0,1	0,35	0,15	0,4

Розв’язання:

Згідно формулам М (Х + У ) = М(Х) + М(У); D( Х+У) =D(Х) + D(У);

М(Х)= 0 · 0,15+2 · 0,25+5 · 0,6 = 3,5;

М(У)=1 · 0,1+2 · 0,35+4 · 0,15+5 · 0,4 =3,4;

Х2	02	22	52		У2	12	22	42	52
Р	0,15	0,25	0,6		Р	0,1	0,35	0,15	0,4

М (Х+У) = М(Х) + М(У) = 3,5 + 3,4 = 6,9;

М(Х²)=0²·0,15+2²·0,25+5²·0,6=16; [М(Х)] ²= 3,5² = 12,25.

М(У²) =1²·0,1+2²·0,35+ 4²·0,15+5²·0,4=13,9 ; [М(У)]²= 3,4² =11,56.

D(Х) = М(Х ² ) – [М(Х)]² = 16 – 12,25 = 3,75.

D(У) = М(У ² ) – [М(У)]² = 13,9 – 11,56 = 2,34.

D( Х + У ) = D(Х) + D(У) = 3,75 + 2,34 = 6,09.

Література:

ОЛ1, стр.412-422

Лекція 59.Вибіркові характеристики. Поняття про закон великих чисел

1. Поняття вибірок.

2. Закон великих чисел

Ймовірність випадкової події ми означили як відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівно-можливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування. Таке означення ймовірності нази­вається класичним.

Класичне означення ймовірності має певні недоліки, а саме:

1. За допомогою цього означення можна обчислювати ймовір­ність лише для скінченої кількості елементарних подій.

2. У випадку нескінченної кількості елементарних подій озна­чення застосувати неможливо.

3. Обчислення кількості елементарних подій іноді дуже громі­здке.

4. Висновок про рівноможливість елементарних подій робиться без логічних обґрунтувань.

Тому поряд з класичним означенням користуються також статистичним означенням ймовірності.

Проведемо випробування — кидання монети. Під час однора­зового проведення випробування ми ніяких закономірностей не помітимо. Закономірності починають виявлятися тоді, коли ек­сперимент виконують багато разів в однакових умовах. У таб­лиці 20 подано результати експериментів з підкиданням монети різними дослідниками.

Дослідник	Ж. Бюффон	О.де Морган	Κ. Пірсон	В. Феллер	У. Джевонс	В. Рома-новський
Кількість підкидань монети - n	4040	4092	12 000	10000	20480	80 640
Кількість випадань герба — т	2048	2048	6019	4979	10379	40 151
Відношен­ня	0,5069	0,5005	0,5010	0,4979	0,5068	0,4979

З таблиці видно, що відношення тобто відношення кількості випадань герба до загальної кількості підкидань монети, коли­вається навколо числа 0,5. Дані таблиці показують, як передба­чення того, що герб випадає з ймовірністю 0,5, добре узгоджується з дослідом.

Дамо статистичне означення ймовірності.

Нехай n — кількість усіх випробувань в окремій серії випро­бувань, а m — кількість тих випробувань, у яких відбувається подія А. Відношення називається відносною частотою події А в даній серії випробувань. Виявляється, що в різних серіях випробувань відповідні частоти для великих n практично збігаються, коливаючись навколо деякого сталого значення Р(А), яке називається статистичною ймовірністю події:

, або .

Поняття статистичної ймовірності широко використовується в біології, медицині, інженерній справі, економіці та інших на­уках.

На практиці нерідко буває важко сказати, яка ймовірність якої-небудь події. В той же час можна на підставі випробувань (спостережень) сказати, яка частота появи події, якщо одне і те ж випробування повторюється багато разів.

Ще Якоб Бернуллі (1654—1705) — відомий швейцарський математик помітив таку цікаву закономірність, яка носить на­зву «закону великих чисел»: чим більше виконується однотип­них випробувань, тим ближче частота появи події до ймовір­ності цієї події. Точніше говорячи, теорема Бернуллі стверджує:

якщо в ряді випробувань ймовірність деякої події залишається для кожного випробування сталою і дорівнює р, то при достат­ньо великій кількості випробувань практично вірогідно, що час­тота появи події відрізняється від її ймовірності менше ніж га на як завгодно мале число ε > 0.

Отже, теорема Бернуллі математично підтверджує нашу інтуї­тивну переконаність у тому, що при великій кількості випробувань повинна виконуватися наближена рівність р·

У випадках, коли ймовірність події невідома, закон великих чисел дозволяє прийняти за ймовірність події її частоту, обчис­лену при достатньо великій кількості випробувань.

Наприклад. Розглядаючи дані про народження дітей, можна зробити висновок: частота народження хлопчиків при достатньо великій кількості спостережень за народженістю близька до числа 0,511, тому це число і приймається за ймовірність народження хлопчика. Знання цієї ймовірності дозволяє робити демографічні прогнози,

Літераура:

ОЛ2, стр.425

Лекція 60. Найпростіші способи обробки експериментальних даних

Метод найменших квадратів відхилення

Метод найменших квадратів - один з методів регресійного аналізу для оцінки невідомих величин за результатами вимірів, що містять випадкові помилки.

Метод найменших квадратів застосовується також для наближеного представлення заданої функції іншими (простішими) функціями і часто виявляється корисним при обробці спостережень.

Коли бажана величина може бути виміряна безпосередньо, як, наприклад, довжина відрізка або кут, то, для збільшення точності, вимірювання проводиться багато разів, і за остаточний результат беруть арифметичне середнє з усіх окремих вимірювань. Це правило арифметичної середини грунтується на міркуваннях теорії ймовірностей; легко показати, що сума квадратів відхилень окремих вимірювань від арифметичної середини буде менше, ніж сума квадратів відхилень окремих вимірювань від якої б то не було іншої величини. Само правило арифметичної середини представляє, отже, найпростіший випадок методу найменших квадратів.

У процесі вивчення різних питань природознавства, економіки і техніки, соціології, педагогіки доводиться на основі великої кількості дослідних даних виявляти суттєві фактори, які впливають на досліджуваний об’єкт, а також встановлювати форму зв’язку між різними зв’язаними одна з одною величинами (ознаками).

Нехай у результаті досліджень дістали таку таблицю деякої функціональної залежності:

Таблиця 1

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Треба знайти аналітичний вигляд функції , яка добре відображала б цю таблицю дослідних даних. Функцію можна шукати у вигляді інтерполяційного поліному. Але інтерполяційні поліноми не завжди добре відображають характер поведінки таблично заданої функції. До того ж значення дістають у результаті експерименту, а вони, як правило, сумнівні. У цьому разі задача інтерполювання табличної функції втрачає сенс. Тому шукають таку функцію , значення якої при досить близькі до табличних значень . Формулу називають емпіричною, або рівнянням регресії на . Емпіричні формули мають велике практичне значення, вдало підібрана емпірична формула дає змогу не тільки апроксимувати сукупність експериментальних даних, «згладжуючи» значення величини , а й екстраполювати знайдену залежність на інші проміжки значень .

Процес побудови емпіричних формул складається з двох етапів: встановлення загального виду цієї формули і визначення найкращих її параметрів.

Щоб встановити вигляд емпіричної формули, на площині будують точки з координатами . Деякі з цих точок сполучають плавною кривою, яку проводять так, щоб вона проходила якомога ближче до всіх даних точок. Після цього візуально визначають, графік якої з відомих нам функцій найкраще підходить до побудованої кривої. Звичайно, намагаються підібрати найпростіші функції: лінійну, квадратичну, дробово-раціональну, степеневу, показникову, логарифмічну.

Встановивши вигляд емпіричної формули, треба знайти її параметри (коефіцієнти). Найточніші значення коефіцієнтів емпіричної формули визначають методом найменших квадратів. Цей метод запропонували відомі математики К. Гаусс і А. Лежандр.

Розглянемо суть методу найменших квадратів.

Нехай емпірична формула має вигляд

, (1)

де , , …, - невідомі коефіцієнти. Треба знайти такі значення коефіцієнтів , за яких крива (1) якомога ближче проходитиме до всіх точок , , …, , знайдених експериментально. Зрозуміло, що жодна з експериментальних точок не задовольняє точно рівняння (1). Відхилення від підстановки координат у рівняння (1) дорівнюватимуть величинам .

За методом найменших квадратів найкращі значення коефіцієнтів ті, для яких сума квадратів відхилень

(2)

дослідних даних від обчислених за емпіричною формулою (1) найменша. Звідси випливає, що величина (2), яка є функцією від коефіцієнтів , повинна мати мінімум. Необхідна умов мінімуму функції багатьох змінних ─ її частинні похідні мають дорівнювати нулю, тобто

, , …, .

Диференціюючи вираз (2) по невідомих параметрах , матимемо відносно них систему рівнянь:

Система (3) називається нормальною. Якщо вона має розв’язок, то він єдиний, і буде шуканим.

Якщо емпірична функція (1) лінійна відносно параметрів , то нормальна система (3) буде системою з лінійних рівнянь відносно шуканих параметрів.

Будуючи емпіричні формули, припускатимемо, що експериментальні дані додатні.

Якщо серед значень і є від’ємні, то завжди можна знайти такі додатні числа і , що і .

Тому розв’язування поставленої задачі завжди можна звести до побудови емпіричної формули для додатних значень .

Побудова лінійної емпіричної формули. Нехай між даними існує лінійна залежність. Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді

, (4)

де коефіцієнти і невідомі.

Знайдемо значення і , за яких функція матиме мінімальне значення. Щоб знайти ці значення, прирівняємо до нуля частинні похідні функції

Звідси, врахувавши, що , маємо

(5)

Розв’язавши відносно і останню систему, знайдемо

, (6)

. (7)

Зазначимо, що, крім графічного, є ще й аналітичний критерій виявлення лінійної залежності між значеннями і .

Покладемо , , .

Якщо , то залежність між і лінійна, бо точки лежатимуть на одній прямій. Якщо , то між і існує майже лінійна залежність, оскільки точки лежатимуть близько до деякої прямої.

Побудова квадратичної емпіричної залежності. Нехай функціональна залежність між та - квадратична. Шукатимемо емпіричну формулу у вигляді

. (8)

Тоді формулу (2) запишемо наступним чином

Для знаходження коефіцієнтів , , , за яких функція мінімальна, обчислимо частинні похідні , , і прирівняємо їх до нуля. В результаті дістанемо систему рівнянь

Після рівносильних перетворень маємо систему

(9)

Розв’язок цієї системи і визначає єдину параболу, яка краще від усіх інших парабол (8) подає на розглядуваному проміжку задану таблично функціональну залежність.

Сформулюємо аналітичний критерій для квадратичної залежності. Для цього введемо поділені різниці першого і другого порядку

і , де .

Точки розміщені на параболі (8) тоді і тільки тоді, коли всі поділені різниці другого порядку зберігають сталі значення.

Якщо точки рівновіддалені, тобто , то для існування квадратичної залежності (8) необхідно і достатньо, щоб була сталою скінчена різниця другого порядку , причому .

Побудова емпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей. Нехай у системі координат маємо нелінійну залежність , неперервну і монотонну на відрізку .

Введемо змінні , так, щоб у новій системі координат задана емпірична нелінійна залежність стала лінійною

. (10)

Тоді точки з координатами в площині лежатимуть на прямій лінії.

Покажемо, як від нелінійних залежностей

, 2) , 3) ,

, 5) , 6)

перейти до лінійних.

1) Розглянемо степеневу залежність , де , , .

Логарифмуючи її, знаходимо . Звідси, поклавши , , , , маємо .

2) Логарифмуючи показникову залежність , маємо . Поклавши , , , в системі координат дістанемо залежність (10).

Зазначимо, що замість показникової залежності часто шукають залежність . Остання перетвориться в лінійну, якщо позначити , , , .

3) Щоб перейти від логарифмічної залежності до лінійної , досить зробити підстановку , .

4) У гіперболічній залежності замінимо змінні , . Тоді гіперболічна залежність перетвориться в лінійну (10), в якій , .

5) Розглянемо дробово-лінійну функцію . Знайдемо обернену функцію . Тоді ввівши нові координати , , дістанемо лінійну залежність (10), де , .

6) Нехай маємо дробово-раціональну залежність . Оберненою до неї буде залежність . Ввівши нові змінні , , дістанемо лінійну залежність (10) з коефіцієнтами , .

Отже, для побудови будь-якої з емпіричних формул 1)-6) треба:

а) за вихідною таблицею даних побудувати нову таблицю , використавши відповідні формули переходу до нових координат;

б) за новою таблицею даних знайти методом найменших квадратів коефіцієнти і лінійної функції (10);

в) за відповідними формулами знайти коефіцієнти і даної нелінійної залежності.

Вибрати емпіричну формулу для нелінійних залежностей графічним методом часто буває важко. Тоді вдаються до перевірки аналітичних критеріїв існування певної залежності. Для цього зводять її до лінійної і перевіряють виконання критерію лінійної залежності між перетвореними вихідними даними . Але є й власні аналітичні критерії наявності кожної з розглянутих вище нелінійних залежностей. Найпростіші необхідні умови їх наявності подано в табл. 2.

Таблиця 2

№ пор.	Емпірична формула			Спосіб вирівнювання
1
2				, де , , ,
3				, де , ,
4				, де
5				, де
6				, де
7				, де ,

Умови перевіряють у такий спосіб. На заданому відрізку зміни незалежної змінної вибирають дві точки, досить надійні і розміщені якомога далі одна від одної. Нехай, наприклад, це будуть точки , . Потім, залежно від типу емпіричної формули, що перевіряється, обчислюють значення , яке є або середнім арифметичним, або середнім геометричним, або середнім гармонічним значень , . Маючи значення і аналогічно обчислюють і відповідне значення . Далі, користуючись даною таблицею значень , для значення знаходять відповідне йому значення . Якщо немає в таблиці, то знаходять наближено з побудованого графіка даної залежності або за допомогою лінійної інтерполяції , де і ─ проміжні значення, між якими лежить . Обчисливши , знаходять величину . Якщо ця величина велика, то відповідна емпірична формула не придатна для апроксимації заданих табличних даних. З кількох придатних емпіричних формул перевагу надають тій, для якої відхилення якомога менше.

Література:

ОЛ 2 ст 531-535